Формули векторів і координат

Дії з векторами та координатами на площині й у просторі: сума та різниця, довжина, скалярний добуток, кут між векторами, відстань між точками, середина відрізка, кутовий коефіцієнт прямої та відстань від точки до прямої.

14 формул · 8–11 класи

★ Обране
Усі формули на сторінці (14)
  1. Відстань між двома точками
  2. Середина відрізка (координати)
  3. Скалярний добуток векторів
  4. Довжина вектора за координатами
  5. Сума векторів за координатами
  6. Косинус кута між векторами (2D)
  7. Кутовий коефіцієнт прямої за двома точками
  8. Відстань від точки до прямої
  9. Радіус кола за рівнянням
  10. Різниця векторів за координатами
  11. Скалярний добуток векторів (через модулі й кут)
  12. Кут між векторами у просторі
  13. Довжина вектора у просторі
  14. Відстань між двома точками у просторі

Відстань між двома точками

8 клас
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

Довжина відрізка між двома точками на координатній площині.

ABd
d — відстань між точками A і B на площині.
Позначення:
  • x1 — Координата x першої точки
  • y1 — Координата y першої точки
  • x2 — Координата x другої точки
  • y2 — Координата y другої точки

Середина відрізка (координати)

8 клас
M(x1+x22, y1+y22)M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)

Координати точки, яка ділить відрізок навпіл.

ABM
M — середина відрізка AB.
Позначення:
  • x1 — Координата x першої точки
  • y1 — Координата y першої точки
  • x2 — Координата x другої точки
  • y2 — Координата y другої точки

Скалярний добуток векторів

9 клас
a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2

Скалярний добуток двох векторів на площині за координатами.

ab
Скалярний добуток обчислюється за координатами векторів.
Позначення:
  • x1 — Координата x першого вектора
  • y1 — Координата y першого вектора
  • x2 — Координата x другого вектора
  • y2 — Координата y другого вектора

Довжина вектора за координатами

9 клас
∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}

Довжина (модуль) вектора на площині.

xy
Довжина вектора — за теоремою Піфагора від його координат.
Позначення:
  • x — Координата x
  • y — Координата y

Сума векторів за координатами

9 клас
a⃗+b⃗=(ax+bx, ay+by)\vec{a}+\vec{b} = (a_x+b_x,\ a_y+b_y)

Додавання векторів покоординатно.

aba+b
Вектори додаються «за правилом трикутника».
Позначення:
  • a_x — Координата x вектора a
  • a_y — Координата y вектора a
  • b_x — Координата x вектора b
  • b_y — Координата y вектора b

Косинус кута між векторами (2D)

9 клас
cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}

Косинус кута між двома векторами на площині через їхні координати.

α
Косинус кута між векторами на площині.
Позначення:
  • a_x — Координата x вектора a
  • a_y — Координата y вектора a
  • b_x — Координата x вектора b
  • b_y — Координата y вектора b

Кутовий коефіцієнт прямої за двома точками

9 клас
k=y2−y1x2−x1k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через дві задані точки.

ΔxΔy
k — відношення зміни y до зміни x.
Позначення:
  • x1 — Координата x першої точки
  • y1 — Координата y першої точки
  • x2 — Координата x другої точки
  • y2 — Координата y другої точки

Відстань від точки до прямої

9 клас
d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Найкоротша відстань від точки до прямої, заданої рівнянням Ax+By+C=0.

Md
d — найкоротша відстань (по перпендикуляру) від точки до прямої.
Позначення:
  • A — Коефіцієнт a
  • B — Коефіцієнт b
  • C — Коефіцієнт c
  • x0 — Координата x0
  • y0 — Координата y0

Радіус кола за рівнянням

9 клас
r=(x−a)2+(y−b)2r = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}

Радіус кола з центром (a,b), яке проходить через точку (x,y).

r(a, b)(x, y)
Центр кола в точці (a, b), точка (x, y) на ньому.
Позначення:
  • x0 — Координата x0
  • y0 — Координата y0
  • x — Координата x
  • y — Координата y

Різниця векторів за координатами

9 клас
a⃗−b⃗=(ax−bx, ay−by)\vec a-\vec b = (a_x-b_x,\ a_y-b_y)

Віднімання векторів покоординатно.

aba−b
Різниця векторів напрямлена від кінця b до кінця a.
Позначення:
  • ax — a_x
  • ay — a_y
  • bx — b_x
  • by — b_y

Скалярний добуток векторів (через модулі й кут)

9 клас
A⃗⋅B⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡α\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos\alpha

Скалярний добуток векторів через їхні довжини і кут між ними.

αab
α — кут між векторами a і b.
Позначення:
  • a — Модуль вектора a (|a|)
  • b — Модуль вектора b (|b|)
  • alpha — Кут α (град)

Кут між векторами у просторі

11 клас
cos⁡θ=x1x2+y1y2+z1z2∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos \theta = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Косинус кута між двома тривимірними векторами за їхніми координатами.

α
Кут між векторами у тривимірному просторі.
Позначення:
  • a_x — Координата x першого вектора
  • a_y — Координата y першого вектора
  • a_z — Координата z першого вектора
  • b_x — Координата x другого вектора
  • b_y — Координата y другого вектора
  • b_z — Координата z другого вектора

Довжина вектора у просторі

11 клас
∣a⃗∣=x2+y2+z2|\vec a| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}

Довжина (модуль) вектора у тривимірному просторі за його координатами.

xyz
У просторі додається третя координата z.
Позначення:
  • x — a_x
  • y — a_y
  • z — a_z

Відстань між двома точками у просторі

11 клас
AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}

Довжина відрізка між двома точками у тривимірному просторі.

ABd
Відстань між точками у тривимірному просторі.
Позначення:
  • x1 — Координата x першої точки
  • y1 — Координата y першої точки
  • z1 — Координата z першої точки
  • x2 — Координата x другої точки
  • y2 — Координата y другої точки
  • z2 — Координата z другої точки

Пов'язані теми