Степені, корені та логарифми

Правила дій зі степенями, коренями та логарифмами: множення й ділення степенів, нульовий, від'ємний і раціональний показник, означення та властивості логарифма, формула переходу до нової основи. Тут також є швидкі формули для відсотків.

24 формули · 5–11 класи

★ Обране
Усі формули на сторінці (24)
  1. Знаходження 1% від числа
  2. Знаходження p% від числа A
  3. Знаходження числа за його відсотком
  4. Множення степенів
  5. Ділення степенів
  6. Піднесення степеня до степеня
  7. Степінь добутку
  8. Степінь з нульовим показником
  9. Властивості квадратного кореня (множення)
  10. Властивості квадратного кореня (ділення)
  11. Квадрат кореня
  12. Корінь з квадрата
  13. Степінь з від'ємним показником
  14. Степінь з раціональним показником
  15. Визначення логарифма
  16. Основна логарифмічна тотожність
  17. Властивості логарифмів (сума)
  18. Властивості логарифмів (різниця)
  19. Винесення степеня з логарифма
  20. Формула переходу до нової основи
  21. Логарифм одиниці
  22. Логарифм числа, що дорівнює основі
  23. Логарифм за степенем основи
  24. Взаємно обернені основи логарифма

Знаходження 1% від числа

5 клас
A100\frac{A}{100}

Сота частина від заданого числа A.

Позначення:
  • A — Число A

Знаходження p% від числа A

5 клас
B=A⋅p100B = A \cdot \frac{p}{100}

Значення вказаного відсотка p від числа A.

Позначення:
  • A — Число A
  • p — Відсоток p

Знаходження числа за його відсотком

5 клас
A=B⋅100pA = B \cdot \frac{100}{p}

Число A, якщо відомо, що B становить p% від нього.

Позначення:
  • B — Відома частина (B)
  • p — Відсоток p

Множення степенів

7 клас
am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}

При множенні степенів з однаковими основами показники додаються.

Позначення:
  • a — Основа a
  • m — Показник m
  • n — Показник n

Ділення степенів

7 клас
am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n}

При діленні степенів з однаковими основами показники віднімаються.

Позначення:
  • a — Основа a
  • m — Показник m
  • n — Показник n

Піднесення степеня до степеня

7 клас
(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}

При піднесенні степеня до степеня показники перемножуються.

Позначення:
  • a — Основа a
  • m — Показник m
  • n — Показник n

Степінь добутку

7 клас
(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

Кожен множник підноситься до заданого степеня.

Позначення:
  • a — Множник a
  • b — Множник b
  • n — Степінь n

Степінь з нульовим показником

7 клас
a0=1(a≠0)a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Будь-яке ненульове число в нульовому степені дорівнює 1.

Позначення:
  • a — Основа a (a≠0)

Властивості квадратного кореня (множення)

8 клас
a⋅b=a⋅b(a,b≥0)\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (a, b \ge 0)

Корінь з добутку невід'ємних чисел дорівнює добутку їхніх коренів.

Позначення:
  • a — Число a (a≥0)
  • b — Число b (b≥0)

Властивості квадратного кореня (ділення)

8 клас
ab=ab(a≥0,b>0)\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \ge 0, b > 0)

Корінь з частки дорівнює відношенню коренів чисельника і знаменника.

Позначення:
  • a — Число a (a≥0)
  • b — Число b (b>0)

Квадрат кореня

8 клас
(a)2=a(a≥0)(\sqrt{a})^2 = a \quad (a \ge 0)

Піднесення арифметичного квадратного кореня до квадрата.

Позначення:
  • a — Число a (a≥0)

Корінь з квадрата

8 клас
a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|

Добування квадратного кореня з квадрата числа дорівнює модулю цього числа.

Позначення:
  • a — Число a

Степінь з від'ємним показником

8 клас
a−n=1an(a≠0)a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)

Заміна від'ємного показника степеня на обернену величину.

Позначення:
  • a — Основа a (a≠0)
  • n — Показник n

Степінь з раціональним показником

10 клас
amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

Представлення степеня з дробовим показником у вигляді кореня.

Позначення:
  • a — Основа a
  • m — Показник m
  • n — Корінь n (n≠0)

Визначення логарифма

10 клас
log⁡ab=c  ⟺  ac=b(a>0,a≠1,b>0)\log_a b = c \iff a^c = b \quad (a>0, a \neq 1, b>0)

Знаходить степінь c, до якого підноситься основа a для отримання b.

Позначення:
  • a — Основа a (a>0, a≠1)
  • b — Аргумент b (b>0)

Основна логарифмічна тотожність

10 клас
alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b

Піднесення основи a до степеня log_a(b) дає аргумент b.

Позначення:
  • b — Число b (b>0)

Властивості логарифмів (сума)

10 клас
log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x⋅y)\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)

Сума логарифмів дорівнює логарифму добутку аргументів.

Позначення:
  • a — Основа a
  • x — Аргумент x
  • y — Аргумент y

Властивості логарифмів (різниця)

10 клас
log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)

Різниця логарифмів дорівнює логарифму частки аргументів.

Позначення:
  • a — Основа a
  • x — Аргумент x
  • y — Аргумент y

Винесення степеня з логарифма

10 клас
log⁡a(xk)=k⋅log⁡ax\log_a (x^k) = k \cdot \log_a x

Степінь k виноситься у вигляді множника перед логарифмом.

Позначення:
  • a — Основа a
  • x — Аргумент x
  • k — Степінь k

Формула переходу до нової основи

10 клас
log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Перехід від логарифма за основою a до основи c.

Позначення:
  • a — Стара основа a
  • b — Аргумент b
  • c — Нова основа c

Логарифм одиниці

10 клас
log⁡a1=0\log_a 1 = 0

Логарифм одиниці за будь-якою основою завжди дорівнює нулю.

Позначення:
  • a — Основа a (a>0, a≠1)

Логарифм числа, що дорівнює основі

10 клас
log⁡aa=1\log_a a = 1

Логарифм числа за рівною йому основою завжди дорівнює одиниці.

Позначення:
  • a — Основа a (a>0, a≠1)

Логарифм за степенем основи

11 клас
log⁡anx=1nlog⁡ax\log_{a^n} x = \frac{1}{n}\log_a x

Дозволяє винести показник степеня основи з-під логарифма (при n ≠ 0).

Позначення:
  • n — Показник n
  • a — Основа a (a>0, a≠1)
  • x — Аргумент x

Взаємно обернені основи логарифма

11 клас
log⁡ax=1log⁡xa\log_a x = \frac{1}{\log_x a}

Пов'язує логарифм з основою a і логарифм з оберненою основою x.

Позначення:
  • a — Основа a (a>0, a≠1)
  • x — Аргумент x

Пов'язані теми