Формули комбінаторики та ймовірності

Перестановки, розміщення та комбінації, класична ймовірність, ймовірність протилежної та незалежних подій, формула Бернуллі й формула включень-виключень для двох і трьох множин.

9 формул · 9–11 класи

★ Обране
Усі формули на сторінці (9)
  1. Число комбінацій (перестановки)
  2. Число сполучень C(n,k)
  3. Число розміщень A(n,k)
  4. Класична ймовірність події
  5. Ймовірність протилежної події
  6. Принцип включень і виключень (для двох множин)
  7. Принцип включень і виключень (для трьох множин)
  8. Ймовірність незалежних подій
  9. Формула Бернуллі

Число комбінацій (перестановки)

9 клас
Pn=n!P_n = n!

Кількість способів переставити n елементів (факторіал n!).

Позначення:
  • n — Кількість елементів n (ціле ≥ 0)

Число сполучень C(n,k)

9 клас
Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Кількість способів вибрати k елементів з n без урахування порядку.

Позначення:
  • n — Кількість елементів (n)
  • k — Кількість обираних (k)

Число розміщень A(n,k)

9 клас
Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

Кількість способів вибрати і впорядкувати k елементів з n.

Позначення:
  • n — Кількість елементів (n)
  • k — Кількість обираних (k)

Класична ймовірність події

9 клас
P(A)=mnP(A) = \frac{m}{n}

Ймовірність події як відношення сприятливих результатів до загальної кількості результатів.

Позначення:
  • m — Сприятливі результати (m)
  • n — Усього результатів (n)

Ймовірність протилежної події

9 клас
P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar A) = 1 - P(A)

Ймовірність того, що подія A не відбудеться.

Позначення:
  • p — Ймовірність події P(A)

Принцип включень і виключень (для двох множин)

9 клас
∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

Визначає кількість елементів в об'єднанні двох скінченних множин.

Позначення:
  • A — Потужність множини |A|
  • B — Потужність множини |B|
  • AB — Потужність |A∩B|

Принцип включень і виключень (для трьох множин)

9 клас
∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣|A \cup B \cup C| = |A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|

Визначає кількість елементів в об'єднанні трьох скінченних множин.

Позначення:
  • A — Потужність множини |A|
  • B — Потужність множини |B|
  • C — Потужність множини |C|
  • AB — Потужність |A∩B|
  • AC — Потужність |A∩C|
  • BC — Потужність |B∩C|
  • ABC — Потужність |A∩B∩C|

Ймовірність незалежних подій

11 клас
P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Ймовірність одночасного настання двох незалежних подій.

Позначення:
  • pa — Ймовірність події P(A)
  • pb — Ймовірність події P(B)

Формула Бернуллі

11 клас
Pn(k)=Cnk⋅pk⋅(1−p)n−kP_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

Ймовірність рівно k успіхів у n незалежних випробуваннях з ймовірністю успіху p.

Позначення:
  • n — Кількість елементів (n)
  • k — Кількість обираних (k)
  • p — Ймовірність успіху (p)

Пов'язані теми