Формулы комбинаторики и вероятности

Перестановки, размещения и сочетания, классическая вероятность, вероятность противоположного и независимых событий, формула Бернулли и формула включений-исключений для двух и трёх множеств.

9 формул · 9–11 классы

★ Избранное
Все формулы на странице (9)
  1. Число комбинаций (перестановки)
  2. Число сочетаний C(n,k)
  3. Число размещений A(n,k)
  4. Классическая вероятность события
  5. Вероятность противоположного события
  6. Принцип включений и исключений (для двух множеств)
  7. Принцип включений и исключений (для трёх множеств)
  8. Вероятность независимых событий
  9. Формула Бернулли

Число комбинаций (перестановки)

9 класс
Pn=n!P_n = n!

Количество способов переставить n элементов (факториал n!).

Обозначения:
  • n — Количество элементов n (целое ≥ 0)

Число сочетаний C(n,k)

9 класс
Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Количество способов выбрать k элементов из n без учёта порядка.

Обозначения:
  • n — Количество элементов (n)
  • k — Количество выбираемых (k)

Число размещений A(n,k)

9 класс
Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

Количество способов выбрать и упорядочить k элементов из n.

Обозначения:
  • n — Количество элементов (n)
  • k — Количество выбираемых (k)

Классическая вероятность события

9 класс
P(A)=mnP(A) = \frac{m}{n}

Вероятность события как отношение благоприятных исходов к общему числу исходов.

Обозначения:
  • m — Благоприятные исходы (m)
  • n — Всего исходов (n)

Вероятность противоположного события

9 класс
P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar A) = 1 - P(A)

Вероятность того, что событие A не произойдёт.

Обозначения:
  • p — Вероятность события P(A)

Принцип включений и исключений (для двух множеств)

9 класс
∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

Определяет количество элементов в объединении двух конечных множеств.

Обозначения:
  • A — Мощность множества |A|
  • B — Мощность множества |B|
  • AB — Мощность |A∩B|

Принцип включений и исключений (для трёх множеств)

9 класс
∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣|A \cup B \cup C| = |A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|

Определяет количество элементов в объединении трёх конечных множеств.

Обозначения:
  • A — Мощность множества |A|
  • B — Мощность множества |B|
  • C — Мощность множества |C|
  • AB — Мощность |A∩B|
  • AC — Мощность |A∩C|
  • BC — Мощность |B∩C|
  • ABC — Мощность |A∩B∩C|

Вероятность независимых событий

11 класс
P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Вероятность одновременного наступления двух независимых событий.

Обозначения:
  • pa — Вероятность события P(A)
  • pb — Вероятность события P(B)

Формула Бернулли

11 класс
Pn(k)=Cnk⋅pk⋅(1−p)n−kP_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

Вероятность ровно k успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p.

Обозначения:
  • n — Количество элементов (n)
  • k — Количество выбираемых (k)
  • p — Вероятность успеха (p)

Связанные темы