Арифметическая и геометрическая прогрессии

Формулы n-го члена, суммы первых n членов и характеристических свойств арифметической и геометрической прогрессий, а также сумма бесконечной геометрической прогрессии. Подставьте свои значения в калькуляторы, чтобы проверить решение.

11 формул · 9–10 классы

★ Избранное
Все формулы на странице (11)
  1. n-й член арифметической прогрессии
  2. Сумма первых n членов арифметической прогрессии
  3. n-й член геометрической прогрессии
  4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии
  5. Сумма n членов арифметической прогрессии (через первый член и разность)
  6. Характеристическое свойство геометрической прогрессии
  7. Характеристическое свойство арифметической прогрессии
  8. Разность арифметической прогрессии (через два произвольных члена)
  9. n-й член арифметической прогрессии (через произвольный k-й член)
  10. n-й член геометрической прогрессии (через произвольный k-й член)
  11. Сумма бесконечной геометрической прогрессии

n-й член арифметической прогрессии

9 класс
an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1)d

Позволяет найти любой член арифметической прогрессии.

Обозначения:
  • a1 — Первый член (a1)
  • n — Номер элемента (n)
  • d — Разность (d)

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

9 класс
Sn=a1+an2⋅nS_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

Вычисляет сумму с 1-го по n-й члены арифметической прогрессии.

Обозначения:
  • a1 — Первый член (a1)
  • an — n-й член (an)
  • n — Количество элементов (n)

n-й член геометрической прогрессии

9 класс
bn=b1⋅qn−1b_n = b_1 \cdot q^{n-1}

Позволяет найти любой член геометрической прогрессии.

Обозначения:
  • b1 — Первый член (b1)
  • q — Знаменатель (q)
  • n — Номер элемента (n)

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

9 класс
Sn=b1(qn−1)q−1(q≠1)S_n = \frac{b_1 (q^n - 1)}{q - 1} \quad (q \neq 1)

Вычисляет сумму первых n членов геометрической прогрессии при q ≠ 1.

Обозначения:
  • b1 — Первый член (b1)
  • q — Знаменатель q (q≠1)
  • n — Количество (n)

Сумма n членов арифметической прогрессии (через первый член и разность)

9 класс
Sn=2a1+(n−1)d2⋅nS_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n

Вычисляет сумму первых n членов арифметической прогрессии через первый член и разность.

Обозначения:
  • a1 — Первый член (a1)
  • n — Количество (n)
  • d — Разность (d)

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

9 класс
bn2=bn+1⋅bn−1b_n^2 = b_{n+1} \cdot b_{n-1}

Квадрат члена геометрической прогрессии равен произведению соседних с ним членов.

Обозначения:
  • bnext — Следующий член (b_{n+1})
  • bprev — Предыдущий член (b_{n-1})

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

9 класс
an=an−1+an+12a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому соседних членов.

Обозначения:
  • aprev — Предыдущий член (a_{n-1})
  • anext — Следующий член (a_{n+1})

Разность арифметической прогрессии (через два произвольных члена)

9 класс
d=an+1−an=an−akn−kd = a_{n+1} - a_n = \frac{a_n - a_k}{n - k}

Разность арифметической прогрессии через любые два её члена и их номера.

a_ka_na_{n+1}d
d — шаг между соседними членами, одинаковый для всей прогрессии.
Обозначения:
  • an — Член a_n
  • ak — Член a_k
  • n — Номер n
  • k — Номер k

n-й член арифметической прогрессии (через произвольный k-й член)

9 класс
an=ak+(n−k)da_n = a_k + (n - k)d

Любой член арифметической прогрессии можно найти не только через первый, но и через любой другой известный член.

a_ka_n(n − k) шагов по d
От k-го до n-го члена проходит (n − k) одинаковых шагов d.
Обозначения:
  • ak — Член a_k
  • n — Номер n
  • k — Номер k
  • d — Разность (d)

n-й член геометрической прогрессии (через произвольный k-й член)

9 класс
bn=bk⋅qn−kb_n = b_k \cdot q^{n-k}

Любой член геометрической прогрессии можно найти не только через первый, но и через любой другой известный член.

b_kb_nумножение на q, (n − k) раз
От k-го до n-го члена умножаем на q ровно (n − k) раз.
Обозначения:
  • bk — Член b_k
  • n — Номер n
  • k — Номер k
  • q — Знаменатель q

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

10 класс
S=b11−q, ∣q∣<1S = \frac{b_1}{1-q},\ |q|<1

Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1).

Обозначения:
  • b1 — Первый член (b1)
  • q — Знаменатель (q)

Связанные темы