Степени, корни и логарифмы

Правила действий со степенями, корнями и логарифмами: умножение и деление степеней, нулевой, отрицательный и рациональный показатель, определение и свойства логарифма, формула перехода к новому основанию. Здесь же — быстрые формулы для процентов.

24 формулы · 5–11 классы

★ Избранное
Все формулы на странице (24)
  1. Нахождение 1% от числа
  2. Нахождение p% от числа A
  3. Нахождение числа по его проценту
  4. Умножение степеней
  5. Деление степеней
  6. Возведение степени в степень
  7. Степень произведения
  8. Степень с нулевым показателем
  9. Свойства квадратного корня (умножение)
  10. Свойства квадратного корня (деление)
  11. Квадрат корня
  12. Корень из квадрата
  13. Степень с отрицательным показателем
  14. Степень с рациональным показателем
  15. Определение логарифма
  16. Основное логарифмическое тождество
  17. Свойства логарифмов (сумма)
  18. Свойства логарифмов (разность)
  19. Вынос степени из логарифма
  20. Формула перехода к новому основанию
  21. Логарифм единицы
  22. Логарифм числа, равного основанию
  23. Логарифм по степени основания
  24. Взаимно обратные основания логарифма

Нахождение 1% от числа

5 класс
A100\frac{A}{100}

Сотая часть от заданного числа A.

Обозначения:
  • A — Число A

Нахождение p% от числа A

5 класс
B=A⋅p100B = A \cdot \frac{p}{100}

Значение указанного процента p от числа A.

Обозначения:
  • A — Число A
  • p — Процент p

Нахождение числа по его проценту

5 класс
A=B⋅100pA = B \cdot \frac{100}{p}

Число A, если известно, что B составляет p% от него.

Обозначения:
  • B — Известная часть (B)
  • p — Процент p

Умножение степеней

7 класс
am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.

Обозначения:
  • a — Основание a
  • m — Показатель m
  • n — Показатель n

Деление степеней

7 класс
am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n}

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются.

Обозначения:
  • a — Основание a
  • m — Показатель m
  • n — Показатель n

Возведение степени в степень

7 класс
(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Обозначения:
  • a — Основание a
  • m — Показатель m
  • n — Показатель n

Степень произведения

7 класс
(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

Каждый множитель возводится в данную степень.

Обозначения:
  • a — Множитель a
  • b — Множитель b
  • n — Степень n

Степень с нулевым показателем

7 класс
a0=1(a≠0)a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.

Обозначения:
  • a — Основание a (a≠0)

Свойства квадратного корня (умножение)

8 класс
a⋅b=a⋅b(a,b≥0)\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (a, b \ge 0)

Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению их корней.

Обозначения:
  • a — Число a (a≥0)
  • b — Число b (b≥0)

Свойства квадратного корня (деление)

8 класс
ab=ab(a≥0,b>0)\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \ge 0, b > 0)

Корень из частного равен отношению корней числителя и знаменателя.

Обозначения:
  • a — Число a (a≥0)
  • b — Число b (b>0)

Квадрат корня

8 класс
(a)2=a(a≥0)(\sqrt{a})^2 = a \quad (a \ge 0)

Возведение арифметического квадратного корня в квадрат.

Обозначения:
  • a — Число a (a≥0)

Корень из квадрата

8 класс
a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|

Извлечение квадратного корня из квадрата числа равен модулю этого числа.

Обозначения:
  • a — Число a

Степень с отрицательным показателем

8 класс
a−n=1an(a≠0)a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)

Замена отрицательного показателя степени на обратную величину.

Обозначения:
  • a — Основание a (a≠0)
  • n — Показатель n

Степень с рациональным показателем

10 класс
amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

Представление степени с дробным показателем в виде корня.

Обозначения:
  • a — Основание a
  • m — Показатель m
  • n — Корень n (n≠0)

Определение логарифма

10 класс
log⁡ab=c  ⟺  ac=b(a>0,a≠1,b>0)\log_a b = c \iff a^c = b \quad (a>0, a \neq 1, b>0)

Находит степень c, в которую возводится основание a для получения b.

Обозначения:
  • a — Основание a (a>0, a≠1)
  • b — Аргумент b (b>0)

Основное логарифмическое тождество

10 класс
alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b

Возведение основания a в степень log_a(b) даёт аргумент b.

Обозначения:
  • b — Число b (b>0)

Свойства логарифмов (сумма)

10 класс
log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x⋅y)\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)

Сумма логарифмов равна логарифму произведения аргументов.

Обозначения:
  • a — Основание a
  • x — Аргумент x
  • y — Аргумент y

Свойства логарифмов (разность)

10 класс
log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)

Разность логарифмов равна логарифму частного аргументов.

Обозначения:
  • a — Основание a
  • x — Аргумент x
  • y — Аргумент y

Вынос степени из логарифма

10 класс
log⁡a(xk)=k⋅log⁡ax\log_a (x^k) = k \cdot \log_a x

Степень k выносится в виде множителя перед логарифмом.

Обозначения:
  • a — Основание a
  • x — Аргумент x
  • k — Степень k

Формула перехода к новому основанию

10 класс
log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Переход от логарифма по основанию a к основанию c.

Обозначения:
  • a — Старое основание a
  • b — Аргумент b
  • c — Новое основание c

Логарифм единицы

10 класс
log⁡a1=0\log_a 1 = 0

Логарифм единицы по любому основанию всегда равен нулю.

Обозначения:
  • a — Основание a (a>0, a≠1)

Логарифм числа, равного основанию

10 класс
log⁡aa=1\log_a a = 1

Логарифм числа по равному ему основанию всегда равен единице.

Обозначения:
  • a — Основание a (a>0, a≠1)

Логарифм по степени основания

11 класс
log⁡anx=1nlog⁡ax\log_{a^n} x = \frac{1}{n}\log_a x

Позволяет вынести показатель степени основания из-под логарифма (при n ≠ 0).

Обозначения:
  • n — Показатель n
  • a — Основание a (a>0, a≠1)
  • x — Аргумент x

Взаимно обратные основания логарифма

11 класс
log⁡ax=1log⁡xa\log_a x = \frac{1}{\log_x a}

Связывает логарифм с основанием a и логарифм с обратным основанием x.

Обозначения:
  • a — Основание a (a>0, a≠1)
  • x — Аргумент x

Связанные темы