Формулы треугольников

Всё о треугольниках в одном месте: сумма углов, внешний угол и неравенство треугольника, теорема Пифагора, теоремы синусов и косинусов, формула Герона, средняя линия, подобие и теорема Фалеса. Для многих формул есть подписанный чертёж и калькулятор.

26 формул · 5–9 классы

★ Избранное
Все формулы на странице (26)
  1. Периметр произвольного треугольника
  2. Периметр равностороннего треугольника
  3. Сумма углов треугольника
  4. Внешний угол треугольника
  5. Неравенство треугольника
  6. Периметр равнобедренного треугольника
  7. Свойство смежных углов
  8. Свойство вертикальных углов
  9. Свойство равнобедренного треугольника
  10. Теорема Пифагора
  11. Площадь треугольника
  12. Площадь прямоугольного треугольника
  13. Средняя линия треугольника
  14. Коэффициент подобия треугольников
  15. Отношение площадей подобных фигур
  16. Теорема Фалеса (четвёртый пропорциональный отрезок)
  17. Площадь равностороннего треугольника
  18. Отношение периметров подобных фигур
  19. Признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу)
  20. Теорема косинусов
  21. Теорема синусов
  22. Площадь треугольника (через угол)
  23. Формула Герона
  24. Площадь треугольника (через радиус описанной окружности)
  25. Площадь треугольника (через радиус вписанной окружности)
  26. Периметр треугольника (через радиус вписанной окружности и площадь)

Периметр произвольного треугольника

5 класс
P=a+b+cP = a+b+c

Сумма длин всех трёх сторон треугольника.

abc
Периметр — сумма длин трёх сторон.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c

Периметр равностороннего треугольника

5 класс
P=3aP = 3a

Сумма длин трёх равных сторон равностороннего треугольника.

aaa
Три равные стороны — периметр втрое больше стороны.
Обозначения:
  • a — Сторона a

Сумма углов треугольника

7 класс
α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Находит третий угол треугольника по двум известным.

αβγ
Сумма трёх внутренних углов любого треугольника равна 180°.
Обозначения:
  • alpha — Угол α (град)
  • beta — Угол β (град)

Внешний угол треугольника

7 класс
α=β+γ\alpha = \beta + \gamma

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

αβφ
Внешний угол φ равен сумме двух несмежных внутренних.
Обозначения:
  • beta — Угол β (град)
  • gamma — Угол γ (град)

Неравенство треугольника

7 класс
a<b+ca < b + c

Проверяет возможность существования треугольника по двум сторонам b и c.

cab
Любая сторона меньше суммы двух других.
Обозначения:
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c

Периметр равнобедренного треугольника

7 класс
P=2a+bP = 2a + b

Периметр треугольника с боковыми сторонами a и основанием b.

aab
Две боковые стороны равны, b — основание.
Обозначения:
  • a — Боковая сторона a
  • b — Основание b

Свойство смежных углов

7 класс
α+β=180∘\alpha + \beta = 180^\circ

Сумма двух смежных углов равна 180 градусов.

βα
Смежные углы вместе составляют развёрнутый угол 180°.
Обозначения:
  • alpha — Угол α (град)

Свойство вертикальных углов

7 класс
α=β\alpha = \beta

Вертикальные углы равны между собой.

αα
Вертикальные углы (напротив друг друга) равны.
Обозначения:
  • alpha — Угол α (град)

Свойство равнобедренного треугольника

7 класс
β1=β2\beta_1 = \beta_2

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

β₁β₂
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Обозначения:
  • alpha — Угол α (град)

Теорема Пифагора

8 класс
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Нахождение гипотенузы c прямоугольного треугольника по двум катетам.

abc
c — гипотеза (против прямого угла), a и b — катеты.
Обозначения:
  • a — Катет a
  • b — Катет b

Площадь треугольника

8 класс
S=12a⋅hS = \frac{1}{2} a \cdot h

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту.

ah
h — высота, опущенная на сторону a под прямым углом.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • h — Высота h

Площадь прямоугольного треугольника

8 класс
S=12a⋅bS = \frac{1}{2} a \cdot b

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

ab
Катеты a и b служат основанием и высотой одновременно.
Обозначения:
  • a — Катет a
  • b — Катет b

Средняя линия треугольника

8 класс
m=12am = \frac{1}{2} a

Средняя линия равна половине параллельной ей стороны.

am
Средняя линия соединяет середины двух сторон и равна половине третьей.
Обозначения:
  • a — Параллельная сторона a

Коэффициент подобия треугольников

8 класс
k=aa′k = \frac{a}{a'}

Отношение соответственных сторон подобных треугольников.

aa₁меньшийбольший
k — во сколько раз одна фигура больше другой.
Обозначения:
  • a — Сторона исходного треугольника (a)
  • aPrime — Сторона подобного треугольника (a')

Отношение площадей подобных фигур

8 класс
S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

aa₁меньшийбольший
Площади относятся как квадрат коэффициента подобия.
Обозначения:
  • k — Коэффициент подобия (k)

Теорема Фалеса (четвёртый пропорциональный отрезок)

8 класс
ab=cd⇒d=b⋅ca\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow d = \frac{b \cdot c}{a}

Находит четвёртый отрезок, пропорциональный трём известным.

abcd
Параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки.
Обозначения:
  • a — Отрезок a
  • b — Отрезок b
  • c — Отрезок c

Площадь равностороннего треугольника

8 класс
S=a234S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

Площадь треугольника с тремя равными сторонами.

aaaS
У равностороннего треугольника все три стороны равны.
Обозначения:
  • a — Сторона a

Отношение периметров подобных фигур

8 класс
P1P2=k\frac{P_1}{P_2} = k

Отношение периметров подобных фигур равно коэффициенту подобия.

aa₁меньшийбольший
Периметры относятся так же, как стороны.
Обозначения:
  • k — Коэффициент подобия (k)

Признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу)

8 класс
a1a2=b1b2⇒△∼△\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \Rightarrow \triangle \sim \triangle

Проверяет подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS).

αα
Две пары пропорциональных сторон и равный угол между ними.
Обозначения:
  • a1 — Сторона исходного треугольника (a)
  • b1 — Сторона исходного треугольника (b)
  • a2 — Сторона подобного треугольника (a')
  • b2 — Сторона подобного треугольника (b')

Теорема косинусов

9 класс
a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Находит сторону a по двум известным сторонам и углу между ними.

αcba
a — сторона напротив угла α.
Обозначения:
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c
  • deg — Угол α (в градусах)

Теорема синусов

9 класс
asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

Вычисляет радиус R описанной окружности около треугольника по стороне a и углу A.

R
R — радиус описанной вокруг треугольника окружности.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • degA — Угол A (в градусах)

Площадь треугольника (через угол)

9 класс
S=12absin⁡γS = \frac{1}{2} a b \sin \gamma

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними.

γab
γ — угол между сторонами a и b.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • deg — Угол γ (в градусах)

Формула Герона

9 класс
S=p(p−a)(p−b)(p−c),p=a+b+c2S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}

Площадь треугольника по трём известным сторонам.

abc
Нужны только три стороны — высота не требуется.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c

Площадь треугольника (через радиус описанной окружности)

9 класс
S=abc4RS = \frac{abc}{4R}

Площадь треугольника через три стороны и радиус описанной окружности.

R
R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c
  • R — Радиус описанной окр. (R)

Площадь треугольника (через радиус вписанной окружности)

9 класс
S=p⋅rS = p \cdot r

Площадь треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности.

r
r — радиус окружности, вписанной в треугольник.
Обозначения:
  • p — Полупериметр (p)
  • r — Радиус вписанной окр. (r)

Периметр треугольника (через радиус вписанной окружности и площадь)

9 класс
P=2SrP = \frac{2S}{r}

Периметр треугольника через его площадь и радиус вписанной окружности.

rS
S — площадь треугольника, r — радиус вписанной окружности.
Обозначения:
  • S — Площадь (S)
  • r — Радиус вписанной окр. (r)

Связанные темы