Формулы: уравнения, дроби и параболы

Широкая подборка основ алгебры: задачи на движение, работу и стоимость, дроби и пропорции, НОД и НОК, линейные и квадратные уравнения, дискриминант, теорема Виета и вершина параболы. Калькулятор под каждой формулой поможет проверить собственное решение.

37 формул · 5–9 классы

★ Избранное
Все формулы на странице (37)
  1. Формула пути (расстояние)
  2. Формула скорости
  3. Формула времени движения
  4. Скорость по течению реки
  5. Скорость против течения реки
  6. Стоимость покупки
  7. Работа (производительность)
  8. Деление с остатком
  9. Среднее арифметическое
  10. Основное свойство дроби
  11. Умножение обыкновенных дробей
  12. Деление обыкновенных дробей
  13. Основное свойство пропорции
  14. Модуль числа
  15. Сложение чисел с разными знаками
  16. Умножение отрицательных чисел
  17. Умножение чисел с разными знаками
  18. НОД (наибольший общий делитель)
  19. НОК (наименьшее общее кратное)
  20. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
  21. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  22. Нахождение неизвестного члена пропорции
  23. Масштаб карты
  24. Линейная функция
  25. Линейное уравнение (корень)
  26. Система двух линейных уравнений
  27. Дискриминант
  28. Корни квадратного уравнения
  29. Теорема Виета (приведённое)
  30. Разложение квадратного трёхчлена
  31. Теорема Виета (общий случай)
  32. Функция обратной пропорциональности
  33. Формула вершины параболы (x)
  34. Формула вершины параболы (y)
  35. Медиана выборки (5 чисел)
  36. Мода выборки (5 чисел)
  37. Размах выборки (5 чисел)

Формула пути (расстояние)

5 класс
S=v⋅tS = v \cdot t

Пройденное расстояние при равномерном движении.

Обозначения:
  • v — Скорость (v)
  • t — Время (t)

Формула скорости

5 класс
v=Stv = \frac{S}{t}

Скорость движения как отношение пути ко времени.

Обозначения:
  • S — Расстояние (S)
  • t — Время (t)

Формула времени движения

5 класс
t=Svt = \frac{S}{v}

Время движения как отношение пути к скорости.

Обозначения:
  • S — Расстояние (S)
  • v — Скорость (v)

Скорость по течению реки

5 класс
v=v0+v1v = v_0 + v_1

Сумма собственной скорости объекта и скорости течения.

Обозначения:
  • v_self — Собственная скорость
  • v_flow — Скорость течения

Скорость против течения реки

5 класс
v=v0−v1v = v_0 - v_1

Разность собственной скорости объекта и скорости течения.

Обозначения:
  • v_self — Собственная скорость
  • v_flow — Скорость течения

Стоимость покупки

5 класс
C=a⋅nC = a \cdot n

Общая стоимость как произведение цены за единицу товара на количество.

Обозначения:
  • a — Цена товара (a)
  • n — Количество (n)

Работа (производительность)

5 класс
A=v⋅tA = v \cdot t

Объём выполненной работы через производительность и время.

Обозначения:
  • v — Производительность (v)
  • t — Время (t)

Деление с остатком

5 класс
a=b⋅q+ra = b \cdot q + r

Представление делимого через делитель, неполное частное и остаток.

Обозначения:
  • b — Делитель (b)
  • q — Неполное частное (q)
  • r — Остаток (r)

Среднее арифметическое

5 класс
M=a1+a2+⋯+annM = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}

Вычисляет среднее арифметическое двух или трёх введённых чисел.

Обозначения:
  • a1 — Число 1
  • a2 — Число 2
  • a3 — Число 3 (опционально: 0)

Основное свойство дроби

6 класс
ab=a⋅cb⋅c\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}

Увеличение числителя и знаменателя в c раз сохраняет значение дроби.

Обозначения:
  • a — Числитель a
  • b — Знаменатель b
  • c — Множитель c (c≠0)

Умножение обыкновенных дробей

6 класс
ab⋅cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Перемножаются отдельно числители и знаменатели.

Обозначения:
  • a — Числитель первой дроби
  • b — Знаменатель первой дроби
  • c — Числитель второй дроби
  • d — Знаменатель второй дроби

Деление обыкновенных дробей

6 класс
ab:cd=a⋅db⋅c\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Умножение первой дроби на перевёрнутую вторую.

Обозначения:
  • a — Числитель первой дроби
  • b — Знаменатель первой дроби
  • c — Числитель второй дроби
  • d — Знаменатель второй дроби

Основное свойство пропорции

6 класс
ab=cd⇒a⋅d=b⋅c\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.

Обозначения:
  • a — Крайний член (1-й)
  • b — Средний член (1-й)
  • c — Средний член (2-й)
  • d — Крайний член (2-й)

Модуль числа

6 класс
∣a∣={a,a≥0−a,a<0|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}

Абсолютная величина числа (расстояние до нуля на координатной прямой).

Обозначения:
  • a — Число a

Сложение чисел с разными знаками

6 класс
a+(−b)=a−ba + (-b) = a - b

Прибавление отрицательного числа эквивалентно вычитанию его модуля.

Обозначения:
  • a — Число a
  • b — Модуль отрицательного b

Умножение отрицательных чисел

6 класс
(−a)⋅(−b)=a⋅b(-a) \cdot (-b) = a \cdot b

Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно.

Обозначения:
  • a — Модуль первого числа (a)
  • b — Модуль второго числа (b)

Умножение чисел с разными знаками

6 класс
(−a)⋅b=−(a⋅b)(-a) \cdot b = -(a \cdot b)

Произведение чисел с разными знаками всегда отрицательно.

Обозначения:
  • a — Модуль первого (a)
  • b — Модуль второго (b)

НОД (наибольший общий делитель)

6 класс
gcd⁡(a,b)\gcd(a, b)

Наибольшее число, на которое делятся оба числа без остатка.

Обозначения:
  • a — Число a
  • b — Число b

НОК (наименьшее общее кратное)

6 класс
lcm⁡(a,b)=a⋅bgcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{a \cdot b}{\gcd(a,b)}

Наименьшее число, кратное одновременно обоим числам.

Обозначения:
  • a — Число a
  • b — Число b

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

6 класс
ac+bc=a+bc\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}

Числители складываются, знаменатель остаётся без изменений.

Обозначения:
  • a — Числитель a
  • b — Числитель b
  • c — Знаменатель c

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

6 класс
ac−bc=a−bc\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}

Числители вычитаются, знаменатель остаётся без изменений.

Обозначения:
  • a — Числитель a
  • b — Числитель b
  • c — Знаменатель c

Нахождение неизвестного члена пропорции

6 класс
ab=cx⇒x=b⋅ca\frac{a}{b}=\frac{c}{x} \Rightarrow x=\frac{b \cdot c}{a}

Находит четвёртый (неизвестный) член пропорции.

Обозначения:
  • a — Первый член пропорции (a)
  • b — Второй член пропорции (b)
  • c — Третий член пропорции (c)

Масштаб карты

6 класс
M=DdM = \frac{D}{d}

Показывает, во сколько раз расстояние на местности больше расстояния на карте.

Обозначения:
  • d — Расстояние на карте (d)
  • D — Расстояние на местности (D)

Линейная функция

7 класс
y=kx+by = kx + b

Вычисление значения y по аргументу x, угловому коэффициенту k и сдвигу b.

Обозначения:
  • k — Коэффициент k
  • x — Аргумент x
  • b — Свободный член b

Линейное уравнение (корень)

7 класс
ax+b=0⇒x=−baax+b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{a}

Корень линейного уравнения с одной переменной.

Обозначения:
  • a — Коэффициент a
  • b — Коэффициент b

Система двух линейных уравнений

7 класс
x=c1b2−c2b1a1b2−a2b1, y=a1c2−a2c1a1b2−a2b1x=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1},\ y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом определителей.

Обозначения:
  • a1 — Коэффициент a1
  • b1 — Коэффициент b1
  • c1 — Коэффициент c1
  • a2 — Коэффициент a2
  • b2 — Коэффициент b2
  • c2 — Коэффициент c2

Дискриминант

8 класс
D=b2−4acD = b^2 - 4ac

Определяет количество вещественных корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

Обозначения:
  • a — Коэффициент a
  • b — Коэффициент b
  • c — Коэффициент c

Корни квадратного уравнения

8 класс
x1,2=−b±D2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Нахождение корней уравнения через дискриминант.

Обозначения:
  • a — Коэффициент a
  • b — Коэффициент b
  • c — Коэффициент c

Теорема Виета (приведённое)

8 класс
x1+x2=−p,x1⋅x2=qx_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q

Связывает корни уравнения x² + px + q = 0 с коэффициентами.

Обозначения:
  • p — Коэффициент p
  • q — Коэффициент q

Разложение квадратного трёхчлена

8 класс
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Представление трёхчлена в виде произведения с использованием его корней.

Обозначения:
  • a — Коэффициент a
  • x1 — Корень x1
  • x2 — Корень x2

Теорема Виета (общий случай)

8 класс
x1+x2=−ba,x1⋅x2=cax_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}

Связывает корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0 с его коэффициентами.

Обозначения:
  • a — Коэффициент a
  • b — Коэффициент b
  • c — Коэффициент c

Функция обратной пропорциональности

8 класс
y=kxy = \frac{k}{x}

Значение функции обратной пропорциональности в точке x.

Обозначения:
  • k — Коэффициент k
  • x — Аргумент x

Формула вершины параболы (x)

9 класс
x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}

Вычисляет координату X вершины параболы ax² + bx + c.

Обозначения:
  • a — Коэффициент a
  • b — Коэффициент b

Формула вершины параболы (y)

9 класс
y0=ax02+bx0+cy_0 = a x_0^2 + b x_0 + c

Вычисляет значение Y вершины параболы по x₀ и коэффициентам.

Обозначения:
  • a — Коэффициент a
  • b — Коэффициент b
  • c — Коэффициент c
  • x0 — Координата x0

Медиана выборки (5 чисел)

9 класс
Me=x(3)\mathrm{Me} = x_{(3)}

Число, которое находится в середине упорядоченного набора данных.

Обозначения:
  • x1 — Число 1
  • x2 — Число 2
  • x3 — Число 3
  • x4 — Число 4
  • x5 — Число 5

Мода выборки (5 чисел)

9 класс
Mo\mathrm{Mo}

Значение, которое встречается в наборе данных чаще всего.

Обозначения:
  • x1 — Число 1
  • x2 — Число 2
  • x3 — Число 3
  • x4 — Число 4
  • x5 — Число 5

Размах выборки (5 чисел)

9 класс
R=xmax−xminR = x_{max} - x_{min}

Разность между наибольшим и наименьшим значением в наборе данных.

Обозначения:
  • x1 — Число 1
  • x2 — Число 2
  • x3 — Число 3
  • x4 — Число 4
  • x5 — Число 5

Связанные темы