Формули: рівняння, дроби та параболи

Широка добірка основ алгебри: задачі на рух, роботу та вартість, дроби й пропорції, НСД і НСК, лінійні та квадратні рівняння, дискримінант, теорема Вієта і вершина параболи. Калькулятор під кожною формулою допоможе перевірити власний розв'язок.

37 формул · 5–9 класи

★ Обране
Усі формули на сторінці (37)
  1. Формула шляху (відстань)
  2. Формула швидкості
  3. Формула часу руху
  4. Швидкість за течією річки
  5. Швидкість проти течії річки
  6. Вартість покупки
  7. Робота (продуктивність)
  8. Ділення з остачею
  9. Середнє арифметичне
  10. Основна властивість дробу
  11. Множення звичайних дробів
  12. Ділення звичайних дробів
  13. Основна властивість пропорції
  14. Модуль числа
  15. Додавання чисел з різними знаками
  16. Множення від'ємних чисел
  17. Множення чисел з різними знаками
  18. НСД (найбільший спільний дільник)
  19. НСК (найменше спільне кратне)
  20. Додавання дробів з однаковим знаменником
  21. Віднімання дробів з однаковим знаменником
  22. Знаходження невідомого члена пропорції
  23. Масштаб карти
  24. Лінійна функція
  25. Лінійне рівняння (корінь)
  26. Система двох лінійних рівнянь
  27. Дискримінант
  28. Корені квадратного рівняння
  29. Теорема Вієта (зведене)
  30. Розкладання квадратного тричлена
  31. Теорема Вієта (загальний випадок)
  32. Функція оберненої пропорційності
  33. Формула вершини параболи (x)
  34. Формула вершини параболи (y)
  35. Медіана вибірки (5 чисел)
  36. Мода вибірки (5 чисел)
  37. Розмах вибірки (5 чисел)

Формула шляху (відстань)

5 клас
S=v⋅tS = v \cdot t

Пройдена відстань за рівномірного руху.

Позначення:
  • v — Швидкість (v)
  • t — Час (t)

Формула швидкості

5 клас
v=Stv = \frac{S}{t}

Швидкість руху як відношення шляху до часу.

Позначення:
  • S — Відстань (S)
  • t — Час (t)

Формула часу руху

5 клас
t=Svt = \frac{S}{v}

Час руху як відношення шляху до швидкості.

Позначення:
  • S — Відстань (S)
  • v — Швидкість (v)

Швидкість за течією річки

5 клас
v=v0+v1v = v_0 + v_1

Сума власної швидкості об'єкта і швидкості течії.

Позначення:
  • v_self — Власна швидкість
  • v_flow — Швидкість течії

Швидкість проти течії річки

5 клас
v=v0−v1v = v_0 - v_1

Різниця власної швидкості об'єкта і швидкості течії.

Позначення:
  • v_self — Власна швидкість
  • v_flow — Швидкість течії

Вартість покупки

5 клас
C=a⋅nC = a \cdot n

Загальна вартість як добуток ціни за одиницю товару на кількість.

Позначення:
  • a — Ціна товару (a)
  • n — Кількість (n)

Робота (продуктивність)

5 клас
A=v⋅tA = v \cdot t

Обсяг виконаної роботи через продуктивність і час.

Позначення:
  • v — Продуктивність (v)
  • t — Час (t)

Ділення з остачею

5 клас
a=b⋅q+ra = b \cdot q + r

Представлення діленого через дільник, неповну частку і остачу.

Позначення:
  • b — Дільник (b)
  • q — Неповна частка (q)
  • r — Остача (r)

Середнє арифметичне

5 клас
M=a1+a2+⋯+annM = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}

Обчислює середнє арифметичне двох або трьох введених чисел.

Позначення:
  • a1 — Число 1
  • a2 — Число 2
  • a3 — Число 3 (опціонально: 0)

Основна властивість дробу

6 клас
ab=a⋅cb⋅c\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}

Збільшення чисельника і знаменника в c разів зберігає значення дробу.

Позначення:
  • a — Чисельник a
  • b — Знаменник b
  • c — Множник c (c≠0)

Множення звичайних дробів

6 клас
ab⋅cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Перемножуються окремо чисельники і знаменники.

Позначення:
  • a — Чисельник першого дробу
  • b — Знаменник першого дробу
  • c — Чисельник другого дробу
  • d — Знаменник другого дробу

Ділення звичайних дробів

6 клас
ab:cd=a⋅db⋅c\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Множення першого дробу на перевернутий другий.

Позначення:
  • a — Чисельник першого дробу
  • b — Знаменник першого дробу
  • c — Чисельник другого дробу
  • d — Знаменник другого дробу

Основна властивість пропорції

6 клас
ab=cd⇒a⋅d=b⋅c\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c

Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх.

Позначення:
  • a — Крайній член (1-й)
  • b — Середній член (1-й)
  • c — Середній член (2-й)
  • d — Крайній член (2-й)

Модуль числа

6 клас
∣a∣={a,a≥0−a,a<0|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}

Абсолютна величина числа (відстань до нуля на координатній прямій).

Позначення:
  • a — Число a

Додавання чисел з різними знаками

6 клас
a+(−b)=a−ba + (-b) = a - b

Додавання від'ємного числа еквівалентне відніманню його модуля.

Позначення:
  • a — Число a
  • b — Модуль від'ємного b

Множення від'ємних чисел

6 клас
(−a)⋅(−b)=a⋅b(-a) \cdot (-b) = a \cdot b

Добуток двох від'ємних чисел завжди додатний.

Позначення:
  • a — Модуль першого числа (a)
  • b — Модуль другого числа (b)

Множення чисел з різними знаками

6 клас
(−a)⋅b=−(a⋅b)(-a) \cdot b = -(a \cdot b)

Добуток чисел з різними знаками завжди від'ємний.

Позначення:
  • a — Модуль першого (a)
  • b — Модуль другого (b)

НСД (найбільший спільний дільник)

6 клас
gcd⁡(a,b)\gcd(a, b)

Найбільше число, на яке діляться обидва числа без остачі.

Позначення:
  • a — Число a
  • b — Число b

НСК (найменше спільне кратне)

6 клас
lcm⁡(a,b)=a⋅bgcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{a \cdot b}{\gcd(a,b)}

Найменше число, кратне одночасно обом числам.

Позначення:
  • a — Число a
  • b — Число b

Додавання дробів з однаковим знаменником

6 клас
ac+bc=a+bc\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}

Чисельники додаються, знаменник залишається без змін.

Позначення:
  • a — Чисельник a
  • b — Чисельник b
  • c — Знаменник c

Віднімання дробів з однаковим знаменником

6 клас
ac−bc=a−bc\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}

Чисельники віднімаються, знаменник залишається без змін.

Позначення:
  • a — Чисельник a
  • b — Чисельник b
  • c — Знаменник c

Знаходження невідомого члена пропорції

6 клас
ab=cx⇒x=b⋅ca\frac{a}{b}=\frac{c}{x} \Rightarrow x=\frac{b \cdot c}{a}

Знаходить четвертий (невідомий) член пропорції.

Позначення:
  • a — Перший член пропорції (a)
  • b — Другий член пропорції (b)
  • c — Третій член пропорції (c)

Масштаб карти

6 клас
M=DdM = \frac{D}{d}

Показує, у скільки разів відстань на місцевості більша за відстань на карті.

Позначення:
  • d — Відстань на карті (d)
  • D — Відстань на місцевості (D)

Лінійна функція

7 клас
y=kx+by = kx + b

Обчислення значення y за аргументом x, кутовим коефіцієнтом k і зсувом b.

Позначення:
  • k — Коефіцієнт k
  • x — Аргумент x
  • b — Вільний член b

Лінійне рівняння (корінь)

7 клас
ax+b=0⇒x=−baax+b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{a}

Корінь лінійного рівняння з однією змінною.

Позначення:
  • a — Коефіцієнт a
  • b — Коефіцієнт b

Система двох лінійних рівнянь

7 клас
x=c1b2−c2b1a1b2−a2b1, y=a1c2−a2c1a1b2−a2b1x=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1},\ y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}

Розв'язання системи двох лінійних рівнянь з двома змінними методом визначників.

Позначення:
  • a1 — Коефіцієнт a1
  • b1 — Коефіцієнт b1
  • c1 — Коефіцієнт c1
  • a2 — Коефіцієнт a2
  • b2 — Коефіцієнт b2
  • c2 — Коефіцієнт c2

Дискримінант

8 клас
D=b2−4acD = b^2 - 4ac

Визначає кількість дійсних коренів квадратного рівняння ax² + bx + c = 0.

Позначення:
  • a — Коефіцієнт a
  • b — Коефіцієнт b
  • c — Коефіцієнт c

Корені квадратного рівняння

8 клас
x1,2=−b±D2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Знаходження коренів рівняння через дискримінант.

Позначення:
  • a — Коефіцієнт a
  • b — Коефіцієнт b
  • c — Коефіцієнт c

Теорема Вієта (зведене)

8 клас
x1+x2=−p,x1⋅x2=qx_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q

Пов'язує корені рівняння x² + px + q = 0 з коефіцієнтами.

Позначення:
  • p — Коефіцієнт p
  • q — Коефіцієнт q

Розкладання квадратного тричлена

8 клас
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Представлення тричлена у вигляді добутку з використанням його коренів.

Позначення:
  • a — Коефіцієнт a
  • x1 — Корінь x1
  • x2 — Корінь x2

Теорема Вієта (загальний випадок)

8 клас
x1+x2=−ba,x1⋅x2=cax_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}

Пов'язує корені квадратного рівняння ax²+bx+c=0 з його коефіцієнтами.

Позначення:
  • a — Коефіцієнт a
  • b — Коефіцієнт b
  • c — Коефіцієнт c

Функція оберненої пропорційності

8 клас
y=kxy = \frac{k}{x}

Значення функції оберненої пропорційності в точці x.

Позначення:
  • k — Коефіцієнт k
  • x — Аргумент x

Формула вершини параболи (x)

9 клас
x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}

Обчислює координату X вершини параболи ax² + bx + c.

Позначення:
  • a — Коефіцієнт a
  • b — Коефіцієнт b

Формула вершини параболи (y)

9 клас
y0=ax02+bx0+cy_0 = a x_0^2 + b x_0 + c

Обчислює значення Y вершини параболи за x₀ і коефіцієнтами.

Позначення:
  • a — Коефіцієнт a
  • b — Коефіцієнт b
  • c — Коефіцієнт c
  • x0 — Координата x0

Медіана вибірки (5 чисел)

9 клас
Me=x(3)\mathrm{Me} = x_{(3)}

Число, яке знаходиться в середині впорядкованого набору даних.

Позначення:
  • x1 — Число 1
  • x2 — Число 2
  • x3 — Число 3
  • x4 — Число 4
  • x5 — Число 5

Мода вибірки (5 чисел)

9 клас
Mo\mathrm{Mo}

Значення, яке зустрічається в наборі даних найчастіше.

Позначення:
  • x1 — Число 1
  • x2 — Число 2
  • x3 — Число 3
  • x4 — Число 4
  • x5 — Число 5

Розмах вибірки (5 чисел)

9 клас
R=xmax−xminR = x_{max} - x_{min}

Різниця між найбільшим і найменшим значенням у наборі даних.

Позначення:
  • x1 — Число 1
  • x2 — Число 2
  • x3 — Число 3
  • x4 — Число 4
  • x5 — Число 5

Пов'язані теми