Арифметична та геометрична прогресії

Формули n-го члена, суми перших n членів і характеристичних властивостей арифметичної та геометричної прогресій, а також сума нескінченної геометричної прогресії. Підставте свої значення в калькулятори, щоб перевірити розв'язок.

11 формул · 9–10 класи

★ Обране
Усі формули на сторінці (11)
  1. n-й член арифметичної прогресії
  2. Сума перших n членів арифметичної прогресії
  3. n-й член геометричної прогресії
  4. Сума перших n членів геометричної прогресії
  5. Сума n членів арифм. прогресії (через перший член і різницю)
  6. Характеристична властивість геометричної прогресії
  7. Характеристична властивість арифметичної прогресії
  8. Різниця арифметичної прогресії (через два довільних члени)
  9. n-й член арифметичної прогресії (через довільний k-й член)
  10. n-й член геометричної прогресії (через довільний k-й член)
  11. Сума нескінченної геометричної прогресії

n-й член арифметичної прогресії

9 клас
an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1)d

Дозволяє знайти будь-який член арифметичної прогресії.

Позначення:
  • a1 — Перший член (a1)
  • n — Номер елемента (n)
  • d — Різниця (d)

Сума перших n членів арифметичної прогресії

9 клас
Sn=a1+an2⋅nS_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

Обчислює суму з 1-го по n-й члени арифметичної прогресії.

Позначення:
  • a1 — Перший член (a1)
  • an — n-й член (an)
  • n — Кількість елементів (n)

n-й член геометричної прогресії

9 клас
bn=b1⋅qn−1b_n = b_1 \cdot q^{n-1}

Дозволяє знайти будь-який член геометричної прогресії.

Позначення:
  • b1 — Перший член (b1)
  • q — Знаменник (q)
  • n — Номер елемента (n)

Сума перших n членів геометричної прогресії

9 клас
Sn=b1(qn−1)q−1(q≠1)S_n = \frac{b_1 (q^n - 1)}{q - 1} \quad (q \neq 1)

Обчислює суму перших n членів геометричної прогресії при q ≠ 1.

Позначення:
  • b1 — Перший член (b1)
  • q — Знаменник q (q≠1)
  • n — Кількість (n)

Сума n членів арифм. прогресії (через перший член і різницю)

9 клас
Sn=2a1+(n−1)d2⋅nS_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n

Обчислює суму перших n членів арифметичної прогресії через перший член і різницю.

Позначення:
  • a1 — Перший член (a1)
  • n — Кількість (n)
  • d — Різниця (d)

Характеристична властивість геометричної прогресії

9 клас
bn2=bn+1⋅bn−1b_n^2 = b_{n+1} \cdot b_{n-1}

Квадрат члена геометричної прогресії дорівнює добутку сусідніх з ним членів.

Позначення:
  • bnext — Наступний член (b_{n+1})
  • bprev — Попередній член (b_{n-1})

Характеристична властивість арифметичної прогресії

9 клас
an=an−1+an+12a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

Кожен член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному сусідніх членів.

Позначення:
  • aprev — Попередній член (a_{n-1})
  • anext — Наступний член (a_{n+1})

Різниця арифметичної прогресії (через два довільних члени)

9 клас
d=an+1−an=an−akn−kd = a_{n+1} - a_n = \frac{a_n - a_k}{n - k}

Різниця арифметичної прогресії через будь-які два її члени і їхні номери.

a_ka_na_{n+1}d
d — крок між сусідніми членами, однаковий для всієї прогресії.
Позначення:
  • an — Член a_n
  • ak — Член a_k
  • n — Номер n
  • k — Номер k

n-й член арифметичної прогресії (через довільний k-й член)

9 клас
an=ak+(n−k)da_n = a_k + (n - k)d

Будь-який член арифметичної прогресії можна знайти не тільки через перший, а й через будь-який інший відомий член.

a_ka_n(n − k) шагов по d
Від k-го до n-го члена проходить (n − k) однакових кроків d.
Позначення:
  • ak — Член a_k
  • n — Номер n
  • k — Номер k
  • d — Різниця (d)

n-й член геометричної прогресії (через довільний k-й член)

9 клас
bn=bk⋅qn−kb_n = b_k \cdot q^{n-k}

Будь-який член геометричної прогресії можна знайти не тільки через перший, а й через будь-який інший відомий член.

b_kb_nумножение на q, (n − k) раз
Від k-го до n-го члена множимо на q рівно (n − k) разів.
Позначення:
  • bk — Член b_k
  • n — Номер n
  • k — Номер k
  • q — Знаменник q

Сума нескінченної геометричної прогресії

10 клас
S=b11−q, ∣q∣<1S = \frac{b_1}{1-q},\ |q|<1

Сума всіх членів нескінченно спадної геометричної прогресії (|q| < 1).

Позначення:
  • b1 — Перший член (b1)
  • q — Знаменник (q)

Пов'язані теми