Шпаргалка з формул математики

Оберіть клас або предмет, потім роздрукуйте сторінку чи збережіть її в PDF. Друкуватимуться лише ті формули, які ви бачите.

★ Обране

Порада: у вікні друку оберіть «Зберегти як PDF», щоб отримати файл.

Формули скороченого множення

Переставний закон додавання

5 клас
a+b=b+aa + b = b + a

Від перестановки доданків сума не змінюється.

Позначення:
  • a — Доданок a
  • b — Доданок b

Переставний закон множення

5 клас
a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot a

Від перестановки множників добуток не змінюється.

Позначення:
  • a — Множник a
  • b — Множник b

Розподільний закон

5 клас
a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Множення числа на суму двох доданків.

Позначення:
  • a — Число a
  • b — Число b
  • c — Число c

Сполучний закон додавання

5 клас
(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)

Результат додавання не залежить від групування доданків.

Позначення:
  • a — Доданок a
  • b — Доданок b
  • c — Доданок c

Сполучний закон множення

5 клас
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

Результат множення не залежить від групування множників.

Позначення:
  • a — Множник a
  • b — Множник b
  • c — Множник c

Квадрат суми

7 клас
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Формула скороченого множення для квадрата суми.

Позначення:
  • a — Число a
  • b — Число b

Квадрат різниці

7 клас
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Формула скороченого множення для квадрата різниці.

Позначення:
  • a — Число a
  • b — Число b

Різниця квадратів

7 клас
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Розкладання різниці квадратів на множники.

Позначення:
  • a — Число a
  • b — Число b

Куб суми

7 клас
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Куб суми двох виразів.

Позначення:
  • a — Число a
  • b — Число b

Куб різниці

7 клас
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Куб різниці двох виразів.

Позначення:
  • a — Число a
  • b — Число b

Сума кубів

7 клас
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Розкладання суми кубів на множники.

Позначення:
  • a — Число a
  • b — Число b

Різниця кубів

7 клас
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Розкладання різниці кубів на множники.

Позначення:
  • a — Число a
  • b — Число b

Рівняння та Параболи

Формула шляху (відстань)

5 клас
S=v⋅tS = v \cdot t

Пройдена відстань за рівномірного руху.

Позначення:
  • v — Швидкість (v)
  • t — Час (t)

Формула швидкості

5 клас
v=Stv = \frac{S}{t}

Швидкість руху як відношення шляху до часу.

Позначення:
  • S — Відстань (S)
  • t — Час (t)

Формула часу руху

5 клас
t=Svt = \frac{S}{v}

Час руху як відношення шляху до швидкості.

Позначення:
  • S — Відстань (S)
  • v — Швидкість (v)

Швидкість за течією річки

5 клас
v=v0+v1v = v_0 + v_1

Сума власної швидкості об'єкта і швидкості течії.

Позначення:
  • v_self — Власна швидкість
  • v_flow — Швидкість течії

Швидкість проти течії річки

5 клас
v=v0−v1v = v_0 - v_1

Різниця власної швидкості об'єкта і швидкості течії.

Позначення:
  • v_self — Власна швидкість
  • v_flow — Швидкість течії

Вартість покупки

5 клас
C=a⋅nC = a \cdot n

Загальна вартість як добуток ціни за одиницю товару на кількість.

Позначення:
  • a — Ціна товару (a)
  • n — Кількість (n)

Робота (продуктивність)

5 клас
A=v⋅tA = v \cdot t

Обсяг виконаної роботи через продуктивність і час.

Позначення:
  • v — Продуктивність (v)
  • t — Час (t)

Ділення з остачею

5 клас
a=b⋅q+ra = b \cdot q + r

Представлення діленого через дільник, неповну частку і остачу.

Позначення:
  • b — Дільник (b)
  • q — Неповна частка (q)
  • r — Остача (r)

Середнє арифметичне

5 клас
M=a1+a2+⋯+annM = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}

Обчислює середнє арифметичне двох або трьох введених чисел.

Позначення:
  • a1 — Число 1
  • a2 — Число 2
  • a3 — Число 3 (опціонально: 0)

Основна властивість дробу

6 клас
ab=a⋅cb⋅c\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}

Збільшення чисельника і знаменника в c разів зберігає значення дробу.

Позначення:
  • a — Чисельник a
  • b — Знаменник b
  • c — Множник c (c≠0)

Множення звичайних дробів

6 клас
ab⋅cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Перемножуються окремо чисельники і знаменники.

Позначення:
  • a — Чисельник першого дробу
  • b — Знаменник першого дробу
  • c — Чисельник другого дробу
  • d — Знаменник другого дробу

Ділення звичайних дробів

6 клас
ab:cd=a⋅db⋅c\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Множення першого дробу на перевернутий другий.

Позначення:
  • a — Чисельник першого дробу
  • b — Знаменник першого дробу
  • c — Чисельник другого дробу
  • d — Знаменник другого дробу

Основна властивість пропорції

6 клас
ab=cd⇒a⋅d=b⋅c\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c

Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх.

Позначення:
  • a — Крайній член (1-й)
  • b — Середній член (1-й)
  • c — Середній член (2-й)
  • d — Крайній член (2-й)

Модуль числа

6 клас
∣a∣={a,a≥0−a,a<0|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}

Абсолютна величина числа (відстань до нуля на координатній прямій).

Позначення:
  • a — Число a

Додавання чисел з різними знаками

6 клас
a+(−b)=a−ba + (-b) = a - b

Додавання від'ємного числа еквівалентне відніманню його модуля.

Позначення:
  • a — Число a
  • b — Модуль від'ємного b

Множення від'ємних чисел

6 клас
(−a)⋅(−b)=a⋅b(-a) \cdot (-b) = a \cdot b

Добуток двох від'ємних чисел завжди додатний.

Позначення:
  • a — Модуль першого числа (a)
  • b — Модуль другого числа (b)

Множення чисел з різними знаками

6 клас
(−a)⋅b=−(a⋅b)(-a) \cdot b = -(a \cdot b)

Добуток чисел з різними знаками завжди від'ємний.

Позначення:
  • a — Модуль першого (a)
  • b — Модуль другого (b)

НСД (найбільший спільний дільник)

6 клас
gcd⁡(a,b)\gcd(a, b)

Найбільше число, на яке діляться обидва числа без остачі.

Позначення:
  • a — Число a
  • b — Число b

НСК (найменше спільне кратне)

6 клас
lcm⁡(a,b)=a⋅bgcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{a \cdot b}{\gcd(a,b)}

Найменше число, кратне одночасно обом числам.

Позначення:
  • a — Число a
  • b — Число b

Додавання дробів з однаковим знаменником

6 клас
ac+bc=a+bc\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}

Чисельники додаються, знаменник залишається без змін.

Позначення:
  • a — Чисельник a
  • b — Чисельник b
  • c — Знаменник c

Віднімання дробів з однаковим знаменником

6 клас
ac−bc=a−bc\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}

Чисельники віднімаються, знаменник залишається без змін.

Позначення:
  • a — Чисельник a
  • b — Чисельник b
  • c — Знаменник c

Знаходження невідомого члена пропорції

6 клас
ab=cx⇒x=b⋅ca\frac{a}{b}=\frac{c}{x} \Rightarrow x=\frac{b \cdot c}{a}

Знаходить четвертий (невідомий) член пропорції.

Позначення:
  • a — Перший член пропорції (a)
  • b — Другий член пропорції (b)
  • c — Третій член пропорції (c)

Масштаб карти

6 клас
M=DdM = \frac{D}{d}

Показує, у скільки разів відстань на місцевості більша за відстань на карті.

Позначення:
  • d — Відстань на карті (d)
  • D — Відстань на місцевості (D)

Лінійна функція

7 клас
y=kx+by = kx + b

Обчислення значення y за аргументом x, кутовим коефіцієнтом k і зсувом b.

Позначення:
  • k — Коефіцієнт k
  • x — Аргумент x
  • b — Вільний член b

Лінійне рівняння (корінь)

7 клас
ax+b=0⇒x=−baax+b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{a}

Корінь лінійного рівняння з однією змінною.

Позначення:
  • a — Коефіцієнт a
  • b — Коефіцієнт b

Система двох лінійних рівнянь

7 клас
x=c1b2−c2b1a1b2−a2b1, y=a1c2−a2c1a1b2−a2b1x=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1},\ y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}

Розв'язання системи двох лінійних рівнянь з двома змінними методом визначників.

Позначення:
  • a1 — Коефіцієнт a1
  • b1 — Коефіцієнт b1
  • c1 — Коефіцієнт c1
  • a2 — Коефіцієнт a2
  • b2 — Коефіцієнт b2
  • c2 — Коефіцієнт c2

Дискримінант

8 клас
D=b2−4acD = b^2 - 4ac

Визначає кількість дійсних коренів квадратного рівняння ax² + bx + c = 0.

Позначення:
  • a — Коефіцієнт a
  • b — Коефіцієнт b
  • c — Коефіцієнт c

Корені квадратного рівняння

8 клас
x1,2=−b±D2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Знаходження коренів рівняння через дискримінант.

Позначення:
  • a — Коефіцієнт a
  • b — Коефіцієнт b
  • c — Коефіцієнт c

Теорема Вієта (зведене)

8 клас
x1+x2=−p,x1⋅x2=qx_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q

Пов'язує корені рівняння x² + px + q = 0 з коефіцієнтами.

Позначення:
  • p — Коефіцієнт p
  • q — Коефіцієнт q

Розкладання квадратного тричлена

8 клас
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Представлення тричлена у вигляді добутку з використанням його коренів.

Позначення:
  • a — Коефіцієнт a
  • x1 — Корінь x1
  • x2 — Корінь x2

Теорема Вієта (загальний випадок)

8 клас
x1+x2=−ba,x1⋅x2=cax_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}

Пов'язує корені квадратного рівняння ax²+bx+c=0 з його коефіцієнтами.

Позначення:
  • a — Коефіцієнт a
  • b — Коефіцієнт b
  • c — Коефіцієнт c

Функція оберненої пропорційності

8 клас
y=kxy = \frac{k}{x}

Значення функції оберненої пропорційності в точці x.

Позначення:
  • k — Коефіцієнт k
  • x — Аргумент x

Формула вершини параболи (x)

9 клас
x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}

Обчислює координату X вершини параболи ax² + bx + c.

Позначення:
  • a — Коефіцієнт a
  • b — Коефіцієнт b

Формула вершини параболи (y)

9 клас
y0=ax02+bx0+cy_0 = a x_0^2 + b x_0 + c

Обчислює значення Y вершини параболи за x₀ і коефіцієнтами.

Позначення:
  • a — Коефіцієнт a
  • b — Коефіцієнт b
  • c — Коефіцієнт c
  • x0 — Координата x0

Медіана вибірки (5 чисел)

9 клас
Me=x(3)\mathrm{Me} = x_{(3)}

Число, яке знаходиться в середині впорядкованого набору даних.

Позначення:
  • x1 — Число 1
  • x2 — Число 2
  • x3 — Число 3
  • x4 — Число 4
  • x5 — Число 5

Мода вибірки (5 чисел)

9 клас
Mo\mathrm{Mo}

Значення, яке зустрічається в наборі даних найчастіше.

Позначення:
  • x1 — Число 1
  • x2 — Число 2
  • x3 — Число 3
  • x4 — Число 4
  • x5 — Число 5

Розмах вибірки (5 чисел)

9 клас
R=xmax−xminR = x_{max} - x_{min}

Різниця між найбільшим і найменшим значенням у наборі даних.

Позначення:
  • x1 — Число 1
  • x2 — Число 2
  • x3 — Число 3
  • x4 — Число 4
  • x5 — Число 5

Трикутники

Периметр довільного трикутника

5 клас
P=a+b+cP = a+b+c

Сума довжин усіх трьох сторін трикутника.

abc
Периметр — сума довжин трьох сторін.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c

Периметр рівностороннього трикутника

5 клас
P=3aP = 3a

Сума довжин трьох рівних сторін рівностороннього трикутника.

aaa
Три рівні сторони — периметр утричі більший за сторону.
Позначення:
  • a — Сторона a

Сума кутів трикутника

7 клас
α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Знаходить третій кут трикутника за двома відомими.

αβγ
Сума трьох внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°.
Позначення:
  • alpha — Кут α (град)
  • beta — Кут β (град)

Зовнішній кут трикутника

7 клас
α=β+γ\alpha = \beta + \gamma

Зовнішній кут дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним.

αβφ
Зовнішній кут φ дорівнює сумі двох несуміжних внутрішніх.
Позначення:
  • beta — Кут β (град)
  • gamma — Кут γ (град)

Нерівність трикутника

7 клас
a<b+ca < b + c

Перевіряє можливість існування трикутника за двома сторонами b і c.

cab
Будь-яка сторона менша за суму двох інших.
Позначення:
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c

Периметр рівнобедреного трикутника

7 клас
P=2a+bP = 2a + b

Периметр трикутника з боковими сторонами a і основою b.

aab
Дві бічні сторони рівні, b — основа.
Позначення:
  • a — Бічна сторона a
  • b — Основа b

Властивість суміжних кутів

7 клас
α+β=180∘\alpha + \beta = 180^\circ

Сума двох суміжних кутів дорівнює 180 градусам.

βα
Суміжні кути разом складають розгорнутий кут 180°.
Позначення:
  • alpha — Кут α (град)

Властивість вертикальних кутів

7 клас
α=β\alpha = \beta

Вертикальні кути рівні між собою.

αα
Вертикальні кути (навпроти один одного) рівні.
Позначення:
  • alpha — Кут α (град)

Властивість рівнобедреного трикутника

7 клас
β1=β2\beta_1 = \beta_2

Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.

β₁β₂
Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.
Позначення:
  • alpha — Кут α (град)

Теорема Піфагора

8 клас
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Знаходження гіпотенузи c прямокутного трикутника за двома катетами.

abc
c — гіпотенуза (проти прямого кута), a і b — катети.
Позначення:
  • a — Катет a
  • b — Катет b

Площа трикутника

8 клас
S=12a⋅hS = \frac{1}{2} a \cdot h

Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту.

ah
h — висота, опущена на сторону a під прямим кутом.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • h — Висота h

Площа прямокутного трикутника

8 клас
S=12a⋅bS = \frac{1}{2} a \cdot b

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів.

ab
Катети a і b є основою та висотою одночасно.
Позначення:
  • a — Катет a
  • b — Катет b

Середня лінія трикутника

8 клас
m=12am = \frac{1}{2} a

Середня лінія дорівнює половині паралельної їй сторони.

am
Середня лінія з'єднує середини двох сторін і дорівнює половині третьої.
Позначення:
  • a — Паралельна сторона a

Коефіцієнт подібності трикутників

8 клас
k=aa′k = \frac{a}{a'}

Відношення відповідних сторін подібних трикутників.

aa₁меньшийбольший
k — у скільки разів одна фігура більша за іншу.
Позначення:
  • a — Сторона вихідного трикутника (a)
  • aPrime — Сторона подібного трикутника (a')

Відношення площ подібних фігур

8 клас
S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2

Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

aa₁меньшийбольший
Площі відносяться як квадрат коефіцієнта подібності.
Позначення:
  • k — Коефіцієнт подібності (k)

Теорема Фалеса (четвертий пропорційний відрізок)

8 клас
ab=cd⇒d=b⋅ca\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow d = \frac{b \cdot c}{a}

Знаходить четвертий відрізок, пропорційний трьом відомим.

abcd
Паралельні прямі відтинають пропорційні відрізки.
Позначення:
  • a — Відрізок a
  • b — Відрізок b
  • c — Відрізок c

Площа рівностороннього трикутника

8 клас
S=a234S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

Площа трикутника з трьома рівними сторонами.

aaaS
У рівностороннього трикутника всі три сторони рівні.
Позначення:
  • a — Сторона a

Відношення периметрів подібних фігур

8 клас
P1P2=k\frac{P_1}{P_2} = k

Відношення периметрів подібних фігур дорівнює коефіцієнту подібності.

aa₁меньшийбольший
Периметри відносяться так само, як сторони.
Позначення:
  • k — Коефіцієнт подібності (k)

Ознака подібності трикутників (за двома сторонами і кутом)

8 клас
a1a2=b1b2⇒△∼△\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \Rightarrow \triangle \sim \triangle

Перевіряє подібність трикутників за двома сторонами і кутом між ними (SAS).

αα
Дві пари пропорційних сторін і рівний кут між ними.
Позначення:
  • a1 — Сторона вихідного трикутника (a)
  • b1 — Сторона вихідного трикутника (b)
  • a2 — Сторона подібного трикутника (a')
  • b2 — Сторона подібного трикутника (b')

Теорема косинусів

9 клас
a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Знаходить сторону a за двома відомими сторонами і кутом між ними.

αcba
a — сторона навпроти кута α.
Позначення:
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c
  • deg — Кут α (у градусах)

Теорема синусів

9 клас
asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

Обчислює радіус R описаного кола навколо трикутника за стороною a і кутом A.

R
R — радіус описаного навколо трикутника кола.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • degA — Кут A (у градусах)

Площа трикутника (через кут)

9 клас
S=12absin⁡γS = \frac{1}{2} a b \sin \gamma

Площа трикутника за двома сторонами і кутом між ними.

γab
γ — кут між сторонами a і b.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • deg — Кут γ (у градусах)

Формула Герона

9 клас
S=p(p−a)(p−b)(p−c),p=a+b+c2S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}

Площа трикутника за трьома відомими сторонами.

abc
Потрібні лише три сторони — висота не потрібна.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c

Площа трикутника (через радіус описаного кола)

9 клас
S=abc4RS = \frac{abc}{4R}

Площа трикутника через три сторони і радіус описаного кола.

R
R — радіус кола, описаного навколо трикутника.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c
  • R — Радіус описаного кола (R)

Площа трикутника (через радіус вписаного кола)

9 клас
S=p⋅rS = p \cdot r

Площа трикутника через півпериметр і радіус вписаного кола.

r
r — радіус кола, вписаного в трикутник.
Позначення:
  • p — Півпериметр (p)
  • r — Радіус вписаного кола (r)

Периметр трикутника (через радіус вписаного кола і площу)

9 клас
P=2SrP = \frac{2S}{r}

Периметр трикутника через його площу і радіус вписаного кола.

rS
S — площа трикутника, r — радіус вписаного кола.
Позначення:
  • S — Площа (S)
  • r — Радіус вписаного кола (r)

Площі фігур

Площа прямокутника

5 клас
S=a⋅bS = a \cdot b

Добуток довжини на ширину.

Sab
Площа — добуток двох сусідніх сторін.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b

Площа квадрата

5 клас
S=a2S = a^2

Квадрат довжини його сторони.

Sa
Площа квадрата — сторона, помножена сама на себе.
Позначення:
  • a — Сторона a

Площа паралелограма

8 клас
S=a⋅haS = a \cdot h_a

Площа паралелограма через сторону і опущену на неї висоту.

ah
h — висота, проведена до сторони a.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • ha — Висота h_a

Площа ромба (через діагоналі)

8 клас
S=12d1⋅d2S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2

Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей.

d₁d₂
d₁ і d₂ — діагоналі, що перетинаються під прямим кутом.
Позначення:
  • d1 — Діагональ d1
  • d2 — Діагональ d2

Діагоналі паралелограма

8 клас
OA=OC=d2OA = OC = \frac{d}{2}

Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

d₁d₂ab
Сума квадратів діагоналей пов'язана зі сторонами.
Позначення:
  • d — Діагональ паралелограма (d)

Сума кутів при бічній стороні паралелограма

8 клас
β=180∘−α\beta = 180^\circ - \alpha

Сума кутів, прилеглих до однієї бічної сторони паралелограма, дорівнює 180°.

αβab
Сусідні кути паралелограма в сумі дають 180°.
Позначення:
  • alpha — Кут α (град)

Діагональ квадрата

8 клас
d=a2d = a\sqrt{2}

Діагональ квадрата через довжину його сторони.

ad
Діагональ квадрата з'єднує протилежні вершини.
Позначення:
  • a — Сторона a

Діагональ прямокутника

8 клас
d=a2+b2d = \sqrt{a^2+b^2}

Діагональ прямокутника через довжину і ширину.

abd
Діагональ знаходиться за теоремою Піфагора.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b

Площа ромба (через сторону і висоту)

8 клас
S=a⋅hS = a \cdot h

Площа ромба як добуток сторони на висоту.

ha
h — висота, опущена на сторону a.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • h — Висота h

Площа описаного багатокутника

9 клас
S=p⋅rS = p \cdot r

Площа через півпериметр p і радіус вписаного кола r.

ra
r — радіус вписаного кола, p — півпериметр.
Позначення:
  • p — Півпериметр (p)
  • r — Радіус вписаного кола (r)

Площа правильного багатокутника

9 клас
S=12PrS = \frac{1}{2} P r

Площа правильного багатокутника через периметр P і радіус вписаного кола r.

ra
У правильного багатокутника всі сторони й кути рівні.
Позначення:
  • P — Периметр (P)
  • r — Радіус вписаного кола (r)

Площа квадрата (через діагональ)

9 клас
S=d22S = \frac{d^2}{2}

Площа квадрата, виражена через його діагональ.

Sd
d — діагональ квадрата, S — його площа.
Позначення:
  • d — Діагональ (d)

Площа паралелограма (через сторони і кут)

9 клас
S=a⋅b⋅sin⁡αS = a \cdot b \cdot \sin \alpha

Площа паралелограма через дві сторони і кут між ними.

αab
α — кут між сторонами a і b.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • alpha — Кут α (у градусах)

Площа паралелограма (через діагоналі і кут)

9 клас
S=12d1d2sin⁡γS = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \gamma

Площа паралелограма через діагоналі і кут між ними.

d₁d₂γ
γ — кут між діагоналями d₁ і d₂.
Позначення:
  • d1 — Діагональ d1
  • d2 — Діагональ d2
  • gamma — Кут γ (у градусах)

Площа ромба (через сторону і кут)

9 клас
S=a2⋅sin⁡αS = a^2 \cdot \sin \alpha

Площа ромба через сторону і кут між сторонами.

αa
α — кут між двома сторонами ромба.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • alpha — Кут α (у градусах)

Площа правильного багатокутника (через сторону)

9 клас
S=na24tan⁡(180∘/n)S = \frac{n a^2}{4 \tan(180^\circ / n)}

Площа правильного n-кутника через довжину сторони, без радіуса вписаного кола.

an сторін
a — сторона, n — кількість сторін багатокутника.
Позначення:
  • n — Кількість сторін (n)
  • a — Сторона (a)

Площа еліпса

9 клас
S=πabS = \pi a b

Площа еліпса через довжини його великої та малої півосей.

ab
a — велика піввісь, b — мала піввісь еліпса.
Позначення:
  • a — Велика піввісь (a)
  • b — Мала піввісь (b)

Периметри фігур

Периметр прямокутника

5 клас
P=2⋅(a+b)P = 2 \cdot (a + b)

Сума довжин усіх сторін прямокутника.

ab
Периметр — сума довжин усіх чотирьох сторін.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b

Периметр квадрата

5 клас
P=4⋅aP = 4 \cdot a

Сума довжин чотирьох рівних сторін квадрата.

aaaa
Усі чотири сторони квадрата рівні.
Позначення:
  • a — Сторона a

Периметр довільного багатокутника

5 клас
P=a1+a2+a3+a4+a5P = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5

Периметр будь-якого багатокутника дорівнює сумі довжин усіх його сторін. Показано на прикладі п'ятикутника — для іншої кількості сторін складаються всі сторони так само.

a₁a₂a₃a₄a₅
Периметр — сума довжин усіх сторін, скільки б їх не було.
Позначення:
  • a1 — Сторона a₁
  • a2 — Сторона a₂
  • a3 — Сторона a₃
  • a4 — Сторона a₄
  • a5 — Сторона a₅

Периметр паралелограма

8 клас
P=2(a+b)P = 2(a+b)

Сума довжин усіх сторін паралелограма.

ab
Протилежні сторони паралелограма рівні.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b

Периметр ромба

8 клас
P=4aP = 4a

Сума довжин чотирьох рівних сторін ромба.

aaaa
У ромба всі чотири сторони рівні.
Позначення:
  • a — Сторона a

Периметр правильного багатокутника

8 клас
P=n⋅aP = n \cdot a

Периметр правильного багатокутника як добуток числа сторін на довжину сторони.

a
n однакових сторін довжиною a.
Позначення:
  • n — Кількість сторін (n)
  • a — Сторона (a)

Периметр квадрата (через діагональ)

8 клас
P=22 dP = 2\sqrt{2}\, d

Периметр квадрата, виражений через його діагональ.

dP = 4a
d — діагональ квадрата, через неї теж можна виразити периметр.
Позначення:
  • d — Діагональ (d)

Трапеція

Площа трапеції

8 клас
S=a+b2⋅hS = \frac{a + b}{2} \cdot h

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту.

abh
a і b — основи, h — висота між ними.
Позначення:
  • a — Основа a
  • b — Основа b
  • h — Висота h

Середня лінія трапеції

8 клас
m=a+b2m = \frac{a + b}{2}

Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ.

abm
m — середня лінія, з'єднує середини бічних сторін.
Позначення:
  • a — Основа a
  • b — Основа b

Периметр трапеції

8 клас
P=a+b+c+dP = a + b + c + d

Сума довжин усіх чотирьох сторін трапеції.

cdab
Периметр — сума двох основ і двох бічних сторін.
Позначення:
  • a — Основа a
  • b — Основа b
  • c — Бічна сторона c
  • d — Бічна сторона d

Висота трапеції (через площу)

8 клас
h=2Sa+bh = \frac{2S}{a+b}

Висота трапеції, виражена через її площу і основи.

hab
Висота виражається з формули площі трапеції.
Позначення:
  • S — Площа (S)
  • a — Основа a
  • b — Основа b

Відрізок між серединами діагоналей

8 клас
MN=∣a−b∣2MN = \frac{|a-b|}{2}

Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює піврізниці її основ.

ab
Відрізок між серединами діагоналей — піврізниця основ.
Позначення:
  • a — Основа a
  • b — Основа b

Сума кутів при бічній стороні трапеції

8 клас
β=180∘−α\beta = 180^\circ - \alpha

Сума кутів, прилеглих до однієї бічної сторони трапеції, дорівнює 180°.

αβab
Кути при одній бічній стороні в сумі дають 180°.
Позначення:
  • alpha — Кут α (град)

Основа трапеції через середню лінію

8 клас
a=2m−ba = 2m - b

Основа трапеції, виражена через середню лінію та іншу основу.

mab
Середня лінія — півсума основ.
Позначення:
  • m — Середня лінія m
  • b — Основа b

Площа трапеції (через середню лінію і висоту)

8 клас
S=m⋅hS = m \cdot h

Площа трапеції як добуток середньої лінії на висоту.

mh
m — середня лінія, h — висота трапеції.
Позначення:
  • m — Середня лінія m
  • h — Висота h

Периметр рівнобічної трапеції

8 клас
P=a+b+2cP = a + b + 2c

Периметр рівнобічної (рівнобедреної) трапеції, у якої обидві бічні сторони рівні.

abcc
Обидві бічні сторони c рівні — трапеція рівнобічна.
Позначення:
  • a — Основа a
  • b — Основа b
  • c — Бічна сторона c

Сума квадратів діагоналей трапеції

9 клас
d12+d22=2ab+c2+d2d_1^2 + d_2^2 = 2ab + c^2 + d^2

Пов'язує діагоналі трапеції з довжинами основ і бічних сторін.

d₁d₂
d₁ і d₂ — діагоналі трапеції.
Позначення:
  • a — Основа a
  • b — Основа b
  • c — Бічна сторона c
  • d — Бічна сторона d

Основа трапеції через висоту і кути при основі

9 клас
a=b+h⋅(ctg⁡α+ctg⁡β)a = b + h \cdot (\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}\beta)

Більша основа трапеції через меншу основу, висоту і кути при нижній основі.

αβhab
Висота і кути при основі добудовують більшу основу.
Позначення:
  • b — Основа b
  • h — Висота h
  • alpha — Кут α (град)
  • beta — Кут β (град)

Основа трапеції через бічні сторони і кути

9 клас
a=b+ccos⁡α+dcos⁡βa = b + c\cos\alpha + d\cos\beta

Більша основа трапеції через меншу основу, бічні сторони і кути при нижній основі.

αβcdab
Бічні сторони і кути при основі дають більшу основу.
Позначення:
  • b — Основа b
  • c — Бічна сторона c
  • d — Бічна сторона d
  • alpha — Кут α (град)
  • beta — Кут β (град)

Бічна сторона трапеції через висоту і кут

9 клас
c=hsin⁡αc = \frac{h}{\sin \alpha}

Бічна сторона трапеції через висоту і прилеглий кут при основі.

αchab
Бічна сторона — гіпотенуза прямокутного трикутника з катетом h.
Позначення:
  • h — Висота h
  • alpha — Кут α (град)

Висота трапеції через бічну сторону і кут

9 клас
h=c⋅sin⁡αh = c \cdot \sin \alpha

Висота трапеції через бічну сторону і прилеглий кут при основі.

αch
α — кут при основі, c — бічна сторона.
Позначення:
  • c — Бічна сторона c
  • alpha — Кут α (град)

Площа трапеції (через діагоналі і кут)

9 клас
S=12d1d2sin⁡φS = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi

Площа трапеції через діагоналі і кут між ними.

d₁d₂φ
φ — кут між діагоналями трапеції.
Позначення:
  • d1 — Діагональ d1
  • d2 — Діагональ d2
  • phi — Кут φ (у градусах)

Коло і Круг

Довжина кола (через діаметр)

6 клас
C=π⋅dC = \pi \cdot d

Обчислення довжини межі кола через діаметр.

d
d — діаметр, проходить через центр від краю до краю.
Позначення:
  • d — Діаметр (d)

Довжина кола (через радіус)

6 клас
C=2πrC = 2 \pi r

Обчислення довжини межі кола через радіус.

r
r — радіус, від центра до будь-якої точки кола.
Позначення:
  • r — Радіус (r)

Площа круга

6 клас
S=πr2S = \pi r^2

Площа області, обмеженої колом радіуса r.

rS
S — площа всієї зафарбованої частини круга.
Позначення:
  • r — Радіус (r)

Залежність діаметра і радіуса

6 клас
d=2rd = 2r

Діаметр кола дорівнює двом радіусам.

rrd
Діаметр складається з двох радіусів.
Позначення:
  • r — Радіус (r)

Площа круга через діаметр

6 клас
S=πD24S = \frac{\pi D^2}{4}

Площа круга, виражена через його діаметр.

DS
Та сама площа круга, але виражена через діаметр.
Позначення:
  • D — Діаметр (D)

Властивість відрізків дотичних з однієї точки

8 клас
AB=ACAB = AC

Відрізки двох дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні між собою.

ABC
Два відрізки дотичних з точки A рівні між собою.
Позначення:
  • AB — Відрізок дотичної AB

Рівняння кола з центром у початку координат

9 клас
r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2

Радіус кола з центром у початку координат, що проходить через точку (x, y).

r(x, y)
Центр кола збігається з початком координат.
Позначення:
  • x — Координата x
  • y — Координата y

Добуток відрізків двох січних

9 клас
AQ⋅BQ=CQ⋅DQAQ \cdot BQ = CQ \cdot DQ

Якщо з точки поза колом проведено дві січні, добутки відрізків кожної з них рівні.

QABCD
Добутки відрізків обох січних з точки Q рівні.
Позначення:
  • AQ — Відрізок AQ
  • BQ — Відрізок BQ
  • CQ — Відрізок CQ

Січна і дотична з однієї точки

9 клас
AQ⋅BQ=CQ2AQ \cdot BQ = CQ^2

Квадрат відрізка дотичної дорівнює добутку відрізків січної, проведених з однієї точки.

QABC
QC — дотична, QA і QB — відрізки січної.
Позначення:
  • AQ — Відрізок AQ
  • BQ — Відрізок BQ

Довжина хорди через центральний кут

9 клас
AB=2rsin⁡α2AB = 2r \sin \frac{\alpha}{2}

Довжина хорди кола через радіус і центральний кут.

αAB
α — центральний кут, що спирається на хорду AB.
Позначення:
  • r — Радіус (r)
  • alpha — Кут α (у градусах)

Довжина хорди через вписаний кут

9 клас
AB=2rsin⁡αAB = 2r \sin \alpha

Довжина хорди кола через радіус і вписаний кут.

αAB
α — вписаний кут, що спирається на хорду AB.
Позначення:
  • r — Радіус (r)
  • alpha — Кут α (у градусах)

Довжина дуги кола

9 клас
l=πrα180∘l = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}

Обчислює довжину дуги кола з центральним кутом α.

αL
L — довжина виділеної дуги, α — її центральний кут.
Позначення:
  • r — Радіус (r)
  • alpha — Кут α (у градусах)

Площа кругового сектора

9 клас
S=πr2α360∘S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ}

Площа сектора круга з центральним кутом α.

αS
Сектор — частина круга між двома радіусами.
Позначення:
  • r — Радіус (r)
  • alpha — Кут α (у градусах)

Площа сегмента круга

9 клас
S=R22(θ−sin⁡θ)S = \frac{R^2}{2} (\theta - \sin \theta)

Площа сегмента круга (частина круга, відтята хордою), кут θ задається в радіанах.

Sθ
S — сегмент, відтятий хордою, θ — центральний кут.
Позначення:
  • R — Радіус (R)
  • theta — Кут θ (у радіанах)

Площа кільця

9 клас
S=π(R2−r2)S = \pi (R^2 - r^2)

Площа кільця між двома концентричними колами з радіусами R і r.

Rr
Кільце — область між колами радіусів R і r.
Позначення:
  • R — Зовнішній радіус (R)
  • r — Внутрішній радіус (r)

Прогресії

n-й член арифметичної прогресії

9 клас
an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1)d

Дозволяє знайти будь-який член арифметичної прогресії.

Позначення:
  • a1 — Перший член (a1)
  • n — Номер елемента (n)
  • d — Різниця (d)

Сума перших n членів арифметичної прогресії

9 клас
Sn=a1+an2⋅nS_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

Обчислює суму з 1-го по n-й члени арифметичної прогресії.

Позначення:
  • a1 — Перший член (a1)
  • an — n-й член (an)
  • n — Кількість елементів (n)

n-й член геометричної прогресії

9 клас
bn=b1⋅qn−1b_n = b_1 \cdot q^{n-1}

Дозволяє знайти будь-який член геометричної прогресії.

Позначення:
  • b1 — Перший член (b1)
  • q — Знаменник (q)
  • n — Номер елемента (n)

Сума перших n членів геометричної прогресії

9 клас
Sn=b1(qn−1)q−1(q≠1)S_n = \frac{b_1 (q^n - 1)}{q - 1} \quad (q \neq 1)

Обчислює суму перших n членів геометричної прогресії при q ≠ 1.

Позначення:
  • b1 — Перший член (b1)
  • q — Знаменник q (q≠1)
  • n — Кількість (n)

Сума n членів арифм. прогресії (через перший член і різницю)

9 клас
Sn=2a1+(n−1)d2⋅nS_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n

Обчислює суму перших n членів арифметичної прогресії через перший член і різницю.

Позначення:
  • a1 — Перший член (a1)
  • n — Кількість (n)
  • d — Різниця (d)

Характеристична властивість геометричної прогресії

9 клас
bn2=bn+1⋅bn−1b_n^2 = b_{n+1} \cdot b_{n-1}

Квадрат члена геометричної прогресії дорівнює добутку сусідніх з ним членів.

Позначення:
  • bnext — Наступний член (b_{n+1})
  • bprev — Попередній член (b_{n-1})

Характеристична властивість арифметичної прогресії

9 клас
an=an−1+an+12a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

Кожен член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному сусідніх членів.

Позначення:
  • aprev — Попередній член (a_{n-1})
  • anext — Наступний член (a_{n+1})

Різниця арифметичної прогресії (через два довільних члени)

9 клас
d=an+1−an=an−akn−kd = a_{n+1} - a_n = \frac{a_n - a_k}{n - k}

Різниця арифметичної прогресії через будь-які два її члени і їхні номери.

a_ka_na_{n+1}d
d — крок між сусідніми членами, однаковий для всієї прогресії.
Позначення:
  • an — Член a_n
  • ak — Член a_k
  • n — Номер n
  • k — Номер k

n-й член арифметичної прогресії (через довільний k-й член)

9 клас
an=ak+(n−k)da_n = a_k + (n - k)d

Будь-який член арифметичної прогресії можна знайти не тільки через перший, а й через будь-який інший відомий член.

a_ka_n(n − k) шагов по d
Від k-го до n-го члена проходить (n − k) однакових кроків d.
Позначення:
  • ak — Член a_k
  • n — Номер n
  • k — Номер k
  • d — Різниця (d)

n-й член геометричної прогресії (через довільний k-й член)

9 клас
bn=bk⋅qn−kb_n = b_k \cdot q^{n-k}

Будь-який член геометричної прогресії можна знайти не тільки через перший, а й через будь-який інший відомий член.

b_kb_nумножение на q, (n − k) раз
Від k-го до n-го члена множимо на q рівно (n − k) разів.
Позначення:
  • bk — Член b_k
  • n — Номер n
  • k — Номер k
  • q — Знаменник q

Сума нескінченної геометричної прогресії

10 клас
S=b11−q, ∣q∣<1S = \frac{b_1}{1-q},\ |q|<1

Сума всіх членів нескінченно спадної геометричної прогресії (|q| < 1).

Позначення:
  • b1 — Перший член (b1)
  • q — Знаменник (q)

Комбінаторика

Число комбінацій (перестановки)

9 клас
Pn=n!P_n = n!

Кількість способів переставити n елементів (факторіал n!).

Позначення:
  • n — Кількість елементів n (ціле ≥ 0)

Число сполучень C(n,k)

9 клас
Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Кількість способів вибрати k елементів з n без урахування порядку.

Позначення:
  • n — Кількість елементів (n)
  • k — Кількість обираних (k)

Число розміщень A(n,k)

9 клас
Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

Кількість способів вибрати і впорядкувати k елементів з n.

Позначення:
  • n — Кількість елементів (n)
  • k — Кількість обираних (k)

Класична ймовірність події

9 клас
P(A)=mnP(A) = \frac{m}{n}

Ймовірність події як відношення сприятливих результатів до загальної кількості результатів.

Позначення:
  • m — Сприятливі результати (m)
  • n — Усього результатів (n)

Ймовірність протилежної події

9 клас
P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar A) = 1 - P(A)

Ймовірність того, що подія A не відбудеться.

Позначення:
  • p — Ймовірність події P(A)

Принцип включень і виключень (для двох множин)

9 клас
∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

Визначає кількість елементів в об'єднанні двох скінченних множин.

Позначення:
  • A — Потужність множини |A|
  • B — Потужність множини |B|
  • AB — Потужність |A∩B|

Принцип включень і виключень (для трьох множин)

9 клас
∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣|A \cup B \cup C| = |A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|

Визначає кількість елементів в об'єднанні трьох скінченних множин.

Позначення:
  • A — Потужність множини |A|
  • B — Потужність множини |B|
  • C — Потужність множини |C|
  • AB — Потужність |A∩B|
  • AC — Потужність |A∩C|
  • BC — Потужність |B∩C|
  • ABC — Потужність |A∩B∩C|

Ймовірність незалежних подій

11 клас
P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Ймовірність одночасного настання двох незалежних подій.

Позначення:
  • pa — Ймовірність події P(A)
  • pb — Ймовірність події P(B)

Формула Бернуллі

11 клас
Pn(k)=Cnk⋅pk⋅(1−p)n−kP_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

Ймовірність рівно k успіхів у n незалежних випробуваннях з ймовірністю успіху p.

Позначення:
  • n — Кількість елементів (n)
  • k — Кількість обираних (k)
  • p — Ймовірність успіху (p)

Степені й Логарифми

Знаходження 1% від числа

5 клас
A100\frac{A}{100}

Сота частина від заданого числа A.

Позначення:
  • A — Число A

Знаходження p% від числа A

5 клас
B=A⋅p100B = A \cdot \frac{p}{100}

Значення вказаного відсотка p від числа A.

Позначення:
  • A — Число A
  • p — Відсоток p

Знаходження числа за його відсотком

5 клас
A=B⋅100pA = B \cdot \frac{100}{p}

Число A, якщо відомо, що B становить p% від нього.

Позначення:
  • B — Відома частина (B)
  • p — Відсоток p

Множення степенів

7 клас
am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}

При множенні степенів з однаковими основами показники додаються.

Позначення:
  • a — Основа a
  • m — Показник m
  • n — Показник n

Ділення степенів

7 клас
am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n}

При діленні степенів з однаковими основами показники віднімаються.

Позначення:
  • a — Основа a
  • m — Показник m
  • n — Показник n

Піднесення степеня до степеня

7 клас
(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}

При піднесенні степеня до степеня показники перемножуються.

Позначення:
  • a — Основа a
  • m — Показник m
  • n — Показник n

Степінь добутку

7 клас
(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

Кожен множник підноситься до заданого степеня.

Позначення:
  • a — Множник a
  • b — Множник b
  • n — Степінь n

Степінь з нульовим показником

7 клас
a0=1(a≠0)a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Будь-яке ненульове число в нульовому степені дорівнює 1.

Позначення:
  • a — Основа a (a≠0)

Властивості квадратного кореня (множення)

8 клас
a⋅b=a⋅b(a,b≥0)\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (a, b \ge 0)

Корінь з добутку невід'ємних чисел дорівнює добутку їхніх коренів.

Позначення:
  • a — Число a (a≥0)
  • b — Число b (b≥0)

Властивості квадратного кореня (ділення)

8 клас
ab=ab(a≥0,b>0)\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \ge 0, b > 0)

Корінь з частки дорівнює відношенню коренів чисельника і знаменника.

Позначення:
  • a — Число a (a≥0)
  • b — Число b (b>0)

Квадрат кореня

8 клас
(a)2=a(a≥0)(\sqrt{a})^2 = a \quad (a \ge 0)

Піднесення арифметичного квадратного кореня до квадрата.

Позначення:
  • a — Число a (a≥0)

Корінь з квадрата

8 клас
a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|

Добування квадратного кореня з квадрата числа дорівнює модулю цього числа.

Позначення:
  • a — Число a

Степінь з від'ємним показником

8 клас
a−n=1an(a≠0)a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)

Заміна від'ємного показника степеня на обернену величину.

Позначення:
  • a — Основа a (a≠0)
  • n — Показник n

Степінь з раціональним показником

10 клас
amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

Представлення степеня з дробовим показником у вигляді кореня.

Позначення:
  • a — Основа a
  • m — Показник m
  • n — Корінь n (n≠0)

Визначення логарифма

10 клас
log⁡ab=c  ⟺  ac=b(a>0,a≠1,b>0)\log_a b = c \iff a^c = b \quad (a>0, a \neq 1, b>0)

Знаходить степінь c, до якого підноситься основа a для отримання b.

Позначення:
  • a — Основа a (a>0, a≠1)
  • b — Аргумент b (b>0)

Основна логарифмічна тотожність

10 клас
alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b

Піднесення основи a до степеня log_a(b) дає аргумент b.

Позначення:
  • b — Число b (b>0)

Властивості логарифмів (сума)

10 клас
log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x⋅y)\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)

Сума логарифмів дорівнює логарифму добутку аргументів.

Позначення:
  • a — Основа a
  • x — Аргумент x
  • y — Аргумент y

Властивості логарифмів (різниця)

10 клас
log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)

Різниця логарифмів дорівнює логарифму частки аргументів.

Позначення:
  • a — Основа a
  • x — Аргумент x
  • y — Аргумент y

Винесення степеня з логарифма

10 клас
log⁡a(xk)=k⋅log⁡ax\log_a (x^k) = k \cdot \log_a x

Степінь k виноситься у вигляді множника перед логарифмом.

Позначення:
  • a — Основа a
  • x — Аргумент x
  • k — Степінь k

Формула переходу до нової основи

10 клас
log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Перехід від логарифма за основою a до основи c.

Позначення:
  • a — Стара основа a
  • b — Аргумент b
  • c — Нова основа c

Логарифм одиниці

10 клас
log⁡a1=0\log_a 1 = 0

Логарифм одиниці за будь-якою основою завжди дорівнює нулю.

Позначення:
  • a — Основа a (a>0, a≠1)

Логарифм числа, що дорівнює основі

10 клас
log⁡aa=1\log_a a = 1

Логарифм числа за рівною йому основою завжди дорівнює одиниці.

Позначення:
  • a — Основа a (a>0, a≠1)

Логарифм за степенем основи

11 клас
log⁡anx=1nlog⁡ax\log_{a^n} x = \frac{1}{n}\log_a x

Дозволяє винести показник степеня основи з-під логарифма (при n ≠ 0).

Позначення:
  • n — Показник n
  • a — Основа a (a>0, a≠1)
  • x — Аргумент x

Взаємно обернені основи логарифма

11 клас
log⁡ax=1log⁡xa\log_a x = \frac{1}{\log_x a}

Пов'язує логарифм з основою a і логарифм з оберненою основою x.

Позначення:
  • a — Основа a (a>0, a≠1)
  • x — Аргумент x

Тригонометрія

Синус гострого кута (Sin)

8 клас
sin⁡α=ac\sin \alpha = \frac{a}{c}

Відношення протилежного катета до гіпотенузи.

αac
a — протилежний катет, c — гіпотенуза.
Позначення:
  • opp — Протилежний катет
  • hyp — Гіпотенуза

Косинус гострого кута (Cos)

8 клас
cos⁡α=bc\cos \alpha = \frac{b}{c}

Відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

αbc
b — прилеглий катет, c — гіпотенуза.
Позначення:
  • adj — Прилеглий катет
  • hyp — Гіпотенуза

Тангенс гострого кута (Tg)

8 клас
tg⁡α=ab\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}

Відношення протилежного катета до прилеглого.

αab
a — протилежний катет, b — прилеглий.
Позначення:
  • opp — Протилежний катет
  • adj — Прилеглий катет

Основна тригонометрична тотожність

9 клас
sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Обчислює модуль sin α за відомим cos α.

sin αcos α1
Випливає з теореми Піфагора в одиничному колі.
Позначення:
  • cos — Косинус (cos α)

Зв'язок тангенса із синусом і косинусом

9 клас
tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Обчислення tg α через відношення sin α до cos α.

αsin αcos α
Тангенс — відношення синуса до косинуса того самого кута.
Позначення:
  • sin — Синус (sin α)
  • cos — Косинус (cos α)

Котангенс гострого кута

9 клас
ctg⁡ α=ba\operatorname{ctg}\,\alpha = \frac{b}{a}

Відношення прилеглого катета до протилежного.

αab
Котангенс — прилеглий катет, поділений на протилежний.
Позначення:
  • adj — Прилеглий катет
  • opp — Протилежний катет

Таблиця значень синуса

9 клас

Значення sin α для основних кутів від 0° до 360°.

α0°30°45°60°90°120°180°270°360°
sin α01/2√2/2√3/21√3/20-10

Таблиця значень косинуса

9 клас

Значення cos α для основних кутів від 0° до 360°.

α0°30°45°60°90°120°180°270°360°
cos α1√3/2√2/21/20-1/2-101

Таблиця значень тангенса

9 клас

Значення tg α для основних кутів від 0° до 360°.

α0°30°45°60°90°120°180°270°360°
tg α01/√31√3—-√30—0

Таблиця значень котангенса

9 клас

Значення ctg α для основних кутів від 0° до 360°.

α0°30°45°60°90°120°180°270°360°
ctg α—√311/√30-1/√3—0—

Таблиця кутів у радіанах

9 клас

Відповідність основних кутів у градусах і радіанах.

α0°30°45°60°90°120°180°270°360°
α (рад)0π/6π/4π/3π/22π/3π3π/22π

Синус суми і різниці

10 клас
sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta

Обчислює sin(α + β) і sin(α - β).

Позначення:
  • degA — Кут α (град)
  • degB — Кут β (град)

Косинус суми і різниці

10 клас
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta

Обчислює cos(α + β) і cos(α - β).

Позначення:
  • degA — Кут α (град)
  • degB — Кут β (град)

Синус подвійного кута

10 клас
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha

Формула для розкриття синуса подвійного кута.

Позначення:
  • deg — Кут α (у градусах)

Косинус подвійного кута

10 клас
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha

Формула для розкриття косинуса подвійного кута.

Позначення:
  • deg — Кут α (у градусах)

Тангенс подвійного кута

10 клас
tg⁡2α=2tg⁡α1−tg⁡2α\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}

Формула для тангенса подвійного кута.

Позначення:
  • deg — Кут α (у градусах)

Переведення градусів у радіани

10 клас
rad=α⋅π180\mathrm{rad} = \alpha \cdot \frac{\pi}{180}

Переводить кут з градусної міри в радіанну.

α°рад
180° відповідає π радіанам.
Позначення:
  • alpha — Кут α (град)

Переведення радіанів у градуси

10 клас
α=rad⋅180π\alpha = \mathrm{rad} \cdot \frac{180}{\pi}

Переводить кут з радіанної міри в градусну.

рад°
Зворотний переказ: з радіанів у градуси.
Позначення:
  • rad — Кут у радіанах (rad)

Похідні та Інтеграли

Похідна константи

10 клас
(c)′=0(c)' = 0

Похідна сталої величини завжди дорівнює нулю.

Позначення:
  • c — Число c

Похідна степеневої функції

11 клас
(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

Значення похідної функції x^n у заданій точці x.

Позначення:
  • x — Значення x
  • n — Степінь n

Похідна тригонометричних функцій

11 клас
(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x

Обчислює значення похідних (sin x)' і (cos x)' у точці x.

Позначення:
  • deg — Кут x (у градусах)

Похідна показникової функції

11 клас
(ax)′=axln⁡a,(ex)′=ex(a^x)' = a^x \ln a, \quad (e^x)' = e^x

Значення похідної функції a^x у точці x.

Позначення:
  • a — Основа a (a>0)
  • x — Показник x

Похідна добутку

11 клас
(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'

Формула диференціювання добутку двох функцій u і v.

Позначення:
  • u — Перша функція
  • u' — Похідна першої функції
  • v — Друга функція
  • v' — Похідна другої функції

Похідна частки

11 клас
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Формула диференціювання частки двох функцій u і v.

Позначення:
  • u — Перша функція
  • u' — Похідна першої функції
  • v — Друга функція
  • v' — Похідна другої функції

Формула Ньютона — Лейбніца (Інтеграл)

11 клас
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)

Обчислює визначений інтеграл через значення первісної.

Позначення:
  • F(b) — Значення первісної в точці b
  • F(a) — Значення первісної в точці a

Похідна складеної функції

11 клас
(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Правило диференціювання складеної функції (ланцюгове правило).

Позначення:
  • fu — Значення f'(u)
  • gx — Значення g'(x)

Похідна суми функцій

11 клас
(u+v)′=u′+v′(u+v)' = u' + v'

Похідна суми функцій дорівнює сумі їхніх похідних.

Позначення:
  • up — Похідна u'
  • vp — Похідна v'

Рівняння дотичної до графіка функції

11 клас
y=f(a)+f′(a)(x−a)y = f(a) + f'(a)(x-a)

Значення дотичної до графіка функції в точці x.

Позначення:
  • fa — Значення функції f(a)
  • fpa — Значення похідної f'(a)
  • a0 — Координата x0
  • x — Аргумент x

Первісна степеневої функції

11 клас
F(x)=xn+1n+1F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}

Первісна (антипохідна) степеневої функції xⁿ при n ≠ −1.

Позначення:
  • x — Значення x
  • n — Показник n

Похідна функції x

11 клас
x′=1x' = 1

Похідна змінної x за самою собою завжди дорівнює одиниці.

Позначення:
  • x — Значення x

Похідна функції 1/x

11 клас
(1x)′=−1x2\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}

Похідна оберненої пропорційної функції в точці x.

Позначення:
  • x — Значення x

Похідна квадратного кореня

11 клас
(x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Похідна функції квадратного кореня в точці x (x > 0).

Позначення:
  • x — Значення x

Похідна тангенса

11 клас
(tg⁡x)′=1cos⁡2x(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

Похідна тангенса в точці x.

Позначення:
  • deg — Кут x (у градусах)

Похідна котангенса

11 клас
(ctg⁡x)′=−1sin⁡2x(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}

Похідна котангенса в точці x.

Позначення:
  • deg — Кут x (у градусах)

Похідна логарифма за основою a

11 клас
(log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

Похідна логарифмічної функції з довільною основою a.

Позначення:
  • x — Значення x
  • a — Основа a (a>0, a≠1)

Похідна натурального логарифма

11 клас
(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}

Похідна натурального логарифма в точці x.

Позначення:
  • x — Значення x

Первісна константи

11 клас
F(x)=kx+CF(x) = kx + C

Первісна сталої величини k.

Позначення:
  • k — Коефіцієнт k
  • x — Значення x

Первісна функції 1/x

11 клас
F(x)=ln⁡∣x∣+CF(x) = \ln|x| + C

Первісна функції, оберненої пропорційної x.

Позначення:
  • x — Значення x

Первісна функції 1/√x

11 клас
F(x)=2x+CF(x) = 2\sqrt{x} + C

Первісна функції, оберненої квадратному кореню з x.

Позначення:
  • x — Значення x

Первісна синуса

11 клас
F(x)=−cos⁡x+CF(x) = -\cos x + C

Первісна функції синуса.

Позначення:
  • deg — Кут x (у градусах)

Первісна косинуса

11 клас
F(x)=sin⁡x+CF(x) = \sin x + C

Первісна функції косинуса.

Позначення:
  • deg — Кут x (у градусах)

Первісна функції 1/cos²x

11 клас
F(x)=tg⁡x+CF(x) = \operatorname{tg} x + C

Первісна функції, оберненої квадрату косинуса.

Позначення:
  • deg — Кут x (у градусах)

Первісна функції 1/sin²x

11 клас
F(x)=−ctg⁡x+CF(x) = -\operatorname{ctg} x + C

Первісна функції, оберненої квадрату синуса.

Позначення:
  • deg — Кут x (у градусах)

Первісна показникової функції

11 клас
F(x)=axln⁡a+CF(x) = \frac{a^x}{\ln a} + C

Первісна показникової функції з довільною основою a.

Позначення:
  • a — Основа a (a>0, a≠1)
  • x — Значення x

Первісна функції eˣ

11 клас
F(x)=ex+CF(x) = e^x + C

Первісна експоненціальної функції eˣ.

Позначення:
  • x — Значення x

Вектори

Відстань між двома точками

8 клас
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

Довжина відрізка між двома точками на координатній площині.

ABd
d — відстань між точками A і B на площині.
Позначення:
  • x1 — Координата x першої точки
  • y1 — Координата y першої точки
  • x2 — Координата x другої точки
  • y2 — Координата y другої точки

Середина відрізка (координати)

8 клас
M(x1+x22, y1+y22)M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)

Координати точки, яка ділить відрізок навпіл.

ABM
M — середина відрізка AB.
Позначення:
  • x1 — Координата x першої точки
  • y1 — Координата y першої точки
  • x2 — Координата x другої точки
  • y2 — Координата y другої точки

Скалярний добуток векторів

9 клас
a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2

Скалярний добуток двох векторів на площині за координатами.

ab
Скалярний добуток обчислюється за координатами векторів.
Позначення:
  • x1 — Координата x першого вектора
  • y1 — Координата y першого вектора
  • x2 — Координата x другого вектора
  • y2 — Координата y другого вектора

Довжина вектора за координатами

9 клас
∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}

Довжина (модуль) вектора на площині.

xy
Довжина вектора — за теоремою Піфагора від його координат.
Позначення:
  • x — Координата x
  • y — Координата y

Сума векторів за координатами

9 клас
a⃗+b⃗=(ax+bx, ay+by)\vec{a}+\vec{b} = (a_x+b_x,\ a_y+b_y)

Додавання векторів покоординатно.

aba+b
Вектори додаються «за правилом трикутника».
Позначення:
  • a_x — Координата x вектора a
  • a_y — Координата y вектора a
  • b_x — Координата x вектора b
  • b_y — Координата y вектора b

Косинус кута між векторами (2D)

9 клас
cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}

Косинус кута між двома векторами на площині через їхні координати.

α
Косинус кута між векторами на площині.
Позначення:
  • a_x — Координата x вектора a
  • a_y — Координата y вектора a
  • b_x — Координата x вектора b
  • b_y — Координата y вектора b

Кутовий коефіцієнт прямої за двома точками

9 клас
k=y2−y1x2−x1k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через дві задані точки.

ΔxΔy
k — відношення зміни y до зміни x.
Позначення:
  • x1 — Координата x першої точки
  • y1 — Координата y першої точки
  • x2 — Координата x другої точки
  • y2 — Координата y другої точки

Відстань від точки до прямої

9 клас
d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Найкоротша відстань від точки до прямої, заданої рівнянням Ax+By+C=0.

Md
d — найкоротша відстань (по перпендикуляру) від точки до прямої.
Позначення:
  • A — Коефіцієнт a
  • B — Коефіцієнт b
  • C — Коефіцієнт c
  • x0 — Координата x0
  • y0 — Координата y0

Радіус кола за рівнянням

9 клас
r=(x−a)2+(y−b)2r = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}

Радіус кола з центром (a,b), яке проходить через точку (x,y).

r(a, b)(x, y)
Центр кола в точці (a, b), точка (x, y) на ньому.
Позначення:
  • x0 — Координата x0
  • y0 — Координата y0
  • x — Координата x
  • y — Координата y

Різниця векторів за координатами

9 клас
a⃗−b⃗=(ax−bx, ay−by)\vec a-\vec b = (a_x-b_x,\ a_y-b_y)

Віднімання векторів покоординатно.

aba−b
Різниця векторів напрямлена від кінця b до кінця a.
Позначення:
  • ax — a_x
  • ay — a_y
  • bx — b_x
  • by — b_y

Скалярний добуток векторів (через модулі й кут)

9 клас
A⃗⋅B⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡α\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos\alpha

Скалярний добуток векторів через їхні довжини і кут між ними.

αab
α — кут між векторами a і b.
Позначення:
  • a — Модуль вектора a (|a|)
  • b — Модуль вектора b (|b|)
  • alpha — Кут α (град)

Кут між векторами у просторі

11 клас
cos⁡θ=x1x2+y1y2+z1z2∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos \theta = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Косинус кута між двома тривимірними векторами за їхніми координатами.

α
Кут між векторами у тривимірному просторі.
Позначення:
  • a_x — Координата x першого вектора
  • a_y — Координата y першого вектора
  • a_z — Координата z першого вектора
  • b_x — Координата x другого вектора
  • b_y — Координата y другого вектора
  • b_z — Координата z другого вектора

Довжина вектора у просторі

11 клас
∣a⃗∣=x2+y2+z2|\vec a| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}

Довжина (модуль) вектора у тривимірному просторі за його координатами.

xyz
У просторі додається третя координата z.
Позначення:
  • x — a_x
  • y — a_y
  • z — a_z

Відстань між двома точками у просторі

11 клас
AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}

Довжина відрізка між двома точками у тривимірному просторі.

ABd
Відстань між точками у тривимірному просторі.
Позначення:
  • x1 — Координата x першої точки
  • y1 — Координата y першої точки
  • z1 — Координата z першої точки
  • x2 — Координата x другої точки
  • y2 — Координата y другої точки
  • z2 — Координата z другої точки

Стереометрія

Об'єм паралелепіпеда

5 клас
V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c

Добуток трьох вимірів: довжини, ширини і висоти.

acb
a, b, c — три виміри паралелепіпеда.
Позначення:
  • a — Довжина (a)
  • b — Ширина (b)
  • c — Висота (c)

Площа поверхні паралелепіпеда

5 клас
S=2⋅(ab+bc+ac)S = 2 \cdot (ab + bc + ac)

Сума площ усіх шести граней паралелепіпеда.

acb
Додаються площі всіх шести граней.
Позначення:
  • a — Ребро a
  • b — Ребро b
  • c — Ребро c

Сума довжин ребер паралелепіпеда

5 клас
L=4⋅(a+b+c)L = 4 \cdot (a + b + c)

Сума довжин усіх 12 ребер прямокутного паралелепіпеда.

acb
У паралелепіпеда по 4 ребра кожного виміру.
Позначення:
  • a — Ребро a
  • b — Ребро b
  • c — Ребро c

Об'єм куба

5 клас
V=a3V = a^3

Куб довжини ребра куба.

aaa
У куба всі ребра рівні.
Позначення:
  • a — Ребро a

Площа поверхні куба

5 клас
S=6⋅a2S = 6 \cdot a^2

Сума площ шести рівних квадратних граней.

aaa
Куб має 6 однакових квадратних граней.
Позначення:
  • a — Ребро a

Площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда

5 клас
S=2c(a+b)S = 2c(a+b)

Площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда через три його виміри.

acb
Бічна поверхня — чотири вертикальні грані.
Позначення:
  • a — Ребро a
  • b — Ребро b
  • c — Ребро c

Сума довжин ребер куба

5 клас
L=12aL = 12a

Сума довжин усіх 12 ребер куба.

a
Усі 12 ребер куба однакової довжини a — виділені зеленим.
Позначення:
  • a — Ребро a

Об'єм призми

10 клас
V=S⋅hV = S \cdot h

Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту.

hS
S — площа основи, h — висота призми.
Позначення:
  • S — Площа основи (S)
  • h — Висота (h)

Об'єм піраміди

10 клас
V=13S⋅hV = \frac{1}{3} S \cdot h

Об'єм піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту.

hS
S — площа основи, h — висота піраміди.
Позначення:
  • S — Площа основи (S)
  • h — Висота (h)

Площа бічної поверхні призми

10 клас
Sb=P⋅hS_b = P \cdot h

Площа бічної поверхні прямої призми через периметр основи і висоту.

hS
Бічна поверхня — усі бічні грані призми.
Позначення:
  • P — Периметр (P)
  • h — Висота (h)

Об'єм циліндра

11 клас
V=πr2hV = \pi r^2 h

Об'єм циліндра з радіусом основи r і висотою h.

rh
r — радіус основи, h — висота циліндра.
Позначення:
  • r — Радіус (r)
  • h — Висота (h)

Площа бічної поверхні циліндра

11 клас
S=2πrhS = 2 \pi r h

Площа бічної поверхні прямого кругового циліндра.

rh
Бічна поверхня — розгортка у прямокутник.
Позначення:
  • r — Радіус (r)
  • h — Висота (h)

Об'єм конуса

11 клас
V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h

Об'єм прямого кругового конуса.

rh
r — радіус основи, h — висота конуса.
Позначення:
  • r — Радіус (r)
  • h — Висота (h)

Площа бічної поверхні конуса

11 клас
S=πrlS = \pi r l

Площа бічної поверхні конуса через радіус r і твірну l.

rl
l — твірна конуса, r — радіус основи.
Позначення:
  • r — Радіус (r)
  • l — Твірна (l)

Об'єм кулі

11 клас
V=43πR3V = \frac{4}{3} \pi R^3

Об'єм кулі радіуса R.

R
R — радіус кулі від центра до поверхні.
Позначення:
  • r — Радіус (R)

Площа сфери (поверхні кулі)

11 клас
S=4πR2S = 4 \pi R^2

Площа сфери радіуса R.

R
Площа всієї зовнішньої поверхні кулі.
Позначення:
  • r — Радіус (R)

Діагональ прямокутного паралелепіпеда

11 клас
d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}

Діагональ прямокутного паралелепіпеда через три його виміри.

dacb
d — діагональ, що з'єднує протилежні вершини.
Позначення:
  • a — Ребро a
  • b — Ребро b
  • c — Ребро c

Діагональ куба

11 клас
d=a3d = a\sqrt{3}

Діагональ куба через довжину його ребра.

daaa
Діагональ куба проходить через його центр.
Позначення:
  • a — Ребро a

Повна поверхня правильної призми

11 клас
S=2S0+P0⋅hS = 2S_0 + P_0 \cdot h

Сума площ двох основ і бічної поверхні прямої призми.

hS
Повна поверхня — бічна плюс дві основи.
Позначення:
  • Sb — Площа основи (S)
  • Pb — Периметр (P)
  • h — Висота (h)

Повна поверхня циліндра

11 клас
S=2πr(r+h)S = 2\pi r(r+h)

Сума площ бічної поверхні і двох основ циліндра.

rh
Повна поверхня — бічна плюс два круги.
Позначення:
  • r — Радіус (r)
  • h — Висота (h)

Площа осьового перерізу циліндра

11 клас
S=2rhS = 2rh

Площа прямокутника — осьового перерізу циліндра, що проходить через його вісь.

drh
Осьовий переріз — прямокутник через вісь циліндра.
Позначення:
  • r — Радіус (r)
  • h — Висота (h)

Діагональ осьового перерізу циліндра

11 клас
D=(2r)2+h2D = \sqrt{(2r)^2+h^2}

Діагональ прямокутника осьового перерізу циліндра (за теоремою Піфагора).

drh
d — діагональ осьового перерізу циліндра.
Позначення:
  • r — Радіус (r)
  • h — Висота (h)

Площа сфери через діаметр

11 клас
S=πd2S = \pi d^2

Площа поверхні сфери, виражена через її діаметр.

Позначення:
  • d — Діаметр (d)

Площа сферичного сегмента

11 клас
S=2πRhS = 2\pi R h

Площа частини поверхні сфери, відсіченої площиною, висотою h.

Позначення:
  • R — Радіус (R)
  • h — Висота сегмента (h)

Об'єм кульового сегмента

11 клас
V=πh2(R−h3)V = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right)

Об'єм частини кулі, відсіченої площиною, де h — висота сегмента.

Позначення:
  • R — Радіус (R)
  • h — Висота сегмента (h)

Об'єм кульового сектора

11 клас
V=23πR2hV = \frac{2}{3}\pi R^2 h

Об'єм тіла, що складається з кульового сегмента і конуса, де h — висота відповідного сегмента.

Позначення:
  • R — Радіус (R)
  • h — Висота сегмента (h)

Площа бічної поверхні піраміди

11 клас
Slat=12P⋅lS_{lat} = \frac{1}{2} P \cdot l

Бічна поверхня правильної піраміди через периметр основи і апофему.

lP
l — апофема (висота бічної грані), P — периметр основи.
Позначення:
  • P — Периметр основи (P)
  • l — Апофема (l)

Повна поверхня піраміди

11 клас
Sfull=Slat+SbaseS_{full} = S_{lat} + S_{base}

Повна поверхня піраміди — сума бічної поверхні і площі основи.

SбокSосн
Повна поверхня — бічна поверхня плюс основа.
Позначення:
  • Sbok — Бічна поверхня
  • Sosn — Площа основи

Повна поверхня конуса

11 клас
S=πrl+πr2=πr(l+r)S = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r)

Повна поверхня конуса — бічна поверхня плюс площа основи.

rl
Повна поверхня — бічна поверхня плюс основа-круг.
Позначення:
  • r — Радіус (r)
  • l — Твірна (l)

Площа бічної поверхні зрізаного конуса

11 клас
Slat=π(R1+R2)lS_{lat} = \pi (R_1 + R_2) l

Бічна поверхня зрізаного конуса через радіуси основ і твірну.

R₁R₂l
R₁ і R₂ — радіуси двох основ, l — твірна.
Позначення:
  • R1 — Радіус R1
  • R2 — Радіус R2
  • l — Твірна (l)

Повна поверхня зрізаного конуса

11 клас
Sfull=π(R1+R2)l+πR12+πR22S_{full} = \pi (R_1 + R_2) l + \pi R_1^2 + \pi R_2^2

Повна поверхня зрізаного конуса — бічна поверхня плюс площі двох основ.

R₁R₂l
Повна поверхня — бічна поверхня плюс дві основи.
Позначення:
  • R1 — Радіус R1
  • R2 — Радіус R2
  • l — Твірна (l)

Сума довжин ребер правильної n-кутної піраміди

11 клас
L=n(a+b)L = n(a + b)

Сума довжин усіх ребер правильної піраміди: n сторін основи плюс n бічних ребер.

ab
a — сторона основи, b — бічне ребро (по n разів кожне).
Позначення:
  • n — Кількість сторін основи (n)
  • a — Сторона основи (a)
  • b — Бічне ребро (b)

Сума довжин ребер правильної n-кутної призми

11 клас
L=n(2a+h)L = n(2a + h)

Сума довжин усіх ребер правильної призми: ребра двох основ плюс бічні ребра.

ah
a — сторона основи, h — висота (бічне ребро) призми.
Позначення:
  • n — Кількість сторін основи (n)
  • a — Сторона основи (a)
  • h — Висота призми (h)

Сума довжин ребер правильного тетраедра

11 клас
L=6aL = 6a

Сума довжин усіх 6 ребер правильного тетраедра.

a
Тетраедр — 4 трикутні грані, усі 6 ребер рівні a.
Позначення:
  • a — Ребро a

Сума довжин ребер правильного октаедра

11 клас
L=12aL = 12a

Сума довжин усіх 12 ребер правильного октаедра.

a
Октаедр — 8 трикутних граней, усі 12 ребер рівні a.
Позначення:
  • a — Ребро a