Формули трикутників

Усе про трикутники в одному місці: сума кутів, зовнішній кут і нерівність трикутника, теорема Піфагора, теореми синусів і косинусів, формула Герона, середня лінія, подібність і теорема Фалеса. До багатьох формул є підписаний малюнок і калькулятор.

26 формул · 5–9 класи

★ Обране
Усі формули на сторінці (26)
  1. Периметр довільного трикутника
  2. Периметр рівностороннього трикутника
  3. Сума кутів трикутника
  4. Зовнішній кут трикутника
  5. Нерівність трикутника
  6. Периметр рівнобедреного трикутника
  7. Властивість суміжних кутів
  8. Властивість вертикальних кутів
  9. Властивість рівнобедреного трикутника
  10. Теорема Піфагора
  11. Площа трикутника
  12. Площа прямокутного трикутника
  13. Середня лінія трикутника
  14. Коефіцієнт подібності трикутників
  15. Відношення площ подібних фігур
  16. Теорема Фалеса (четвертий пропорційний відрізок)
  17. Площа рівностороннього трикутника
  18. Відношення периметрів подібних фігур
  19. Ознака подібності трикутників (за двома сторонами і кутом)
  20. Теорема косинусів
  21. Теорема синусів
  22. Площа трикутника (через кут)
  23. Формула Герона
  24. Площа трикутника (через радіус описаного кола)
  25. Площа трикутника (через радіус вписаного кола)
  26. Периметр трикутника (через радіус вписаного кола і площу)

Периметр довільного трикутника

5 клас
P=a+b+cP = a+b+c

Сума довжин усіх трьох сторін трикутника.

abc
Периметр — сума довжин трьох сторін.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c

Периметр рівностороннього трикутника

5 клас
P=3aP = 3a

Сума довжин трьох рівних сторін рівностороннього трикутника.

aaa
Три рівні сторони — периметр утричі більший за сторону.
Позначення:
  • a — Сторона a

Сума кутів трикутника

7 клас
α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Знаходить третій кут трикутника за двома відомими.

αβγ
Сума трьох внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°.
Позначення:
  • alpha — Кут α (град)
  • beta — Кут β (град)

Зовнішній кут трикутника

7 клас
α=β+γ\alpha = \beta + \gamma

Зовнішній кут дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним.

αβφ
Зовнішній кут φ дорівнює сумі двох несуміжних внутрішніх.
Позначення:
  • beta — Кут β (град)
  • gamma — Кут γ (град)

Нерівність трикутника

7 клас
a<b+ca < b + c

Перевіряє можливість існування трикутника за двома сторонами b і c.

cab
Будь-яка сторона менша за суму двох інших.
Позначення:
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c

Периметр рівнобедреного трикутника

7 клас
P=2a+bP = 2a + b

Периметр трикутника з боковими сторонами a і основою b.

aab
Дві бічні сторони рівні, b — основа.
Позначення:
  • a — Бічна сторона a
  • b — Основа b

Властивість суміжних кутів

7 клас
α+β=180∘\alpha + \beta = 180^\circ

Сума двох суміжних кутів дорівнює 180 градусам.

βα
Суміжні кути разом складають розгорнутий кут 180°.
Позначення:
  • alpha — Кут α (град)

Властивість вертикальних кутів

7 клас
α=β\alpha = \beta

Вертикальні кути рівні між собою.

αα
Вертикальні кути (навпроти один одного) рівні.
Позначення:
  • alpha — Кут α (град)

Властивість рівнобедреного трикутника

7 клас
β1=β2\beta_1 = \beta_2

Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.

β₁β₂
Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.
Позначення:
  • alpha — Кут α (град)

Теорема Піфагора

8 клас
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Знаходження гіпотенузи c прямокутного трикутника за двома катетами.

abc
c — гіпотенуза (проти прямого кута), a і b — катети.
Позначення:
  • a — Катет a
  • b — Катет b

Площа трикутника

8 клас
S=12a⋅hS = \frac{1}{2} a \cdot h

Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту.

ah
h — висота, опущена на сторону a під прямим кутом.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • h — Висота h

Площа прямокутного трикутника

8 клас
S=12a⋅bS = \frac{1}{2} a \cdot b

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів.

ab
Катети a і b є основою та висотою одночасно.
Позначення:
  • a — Катет a
  • b — Катет b

Середня лінія трикутника

8 клас
m=12am = \frac{1}{2} a

Середня лінія дорівнює половині паралельної їй сторони.

am
Середня лінія з'єднує середини двох сторін і дорівнює половині третьої.
Позначення:
  • a — Паралельна сторона a

Коефіцієнт подібності трикутників

8 клас
k=aa′k = \frac{a}{a'}

Відношення відповідних сторін подібних трикутників.

aa₁меньшийбольший
k — у скільки разів одна фігура більша за іншу.
Позначення:
  • a — Сторона вихідного трикутника (a)
  • aPrime — Сторона подібного трикутника (a')

Відношення площ подібних фігур

8 клас
S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2

Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

aa₁меньшийбольший
Площі відносяться як квадрат коефіцієнта подібності.
Позначення:
  • k — Коефіцієнт подібності (k)

Теорема Фалеса (четвертий пропорційний відрізок)

8 клас
ab=cd⇒d=b⋅ca\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow d = \frac{b \cdot c}{a}

Знаходить четвертий відрізок, пропорційний трьом відомим.

abcd
Паралельні прямі відтинають пропорційні відрізки.
Позначення:
  • a — Відрізок a
  • b — Відрізок b
  • c — Відрізок c

Площа рівностороннього трикутника

8 клас
S=a234S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

Площа трикутника з трьома рівними сторонами.

aaaS
У рівностороннього трикутника всі три сторони рівні.
Позначення:
  • a — Сторона a

Відношення периметрів подібних фігур

8 клас
P1P2=k\frac{P_1}{P_2} = k

Відношення периметрів подібних фігур дорівнює коефіцієнту подібності.

aa₁меньшийбольший
Периметри відносяться так само, як сторони.
Позначення:
  • k — Коефіцієнт подібності (k)

Ознака подібності трикутників (за двома сторонами і кутом)

8 клас
a1a2=b1b2⇒△∼△\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \Rightarrow \triangle \sim \triangle

Перевіряє подібність трикутників за двома сторонами і кутом між ними (SAS).

αα
Дві пари пропорційних сторін і рівний кут між ними.
Позначення:
  • a1 — Сторона вихідного трикутника (a)
  • b1 — Сторона вихідного трикутника (b)
  • a2 — Сторона подібного трикутника (a')
  • b2 — Сторона подібного трикутника (b')

Теорема косинусів

9 клас
a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Знаходить сторону a за двома відомими сторонами і кутом між ними.

αcba
a — сторона навпроти кута α.
Позначення:
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c
  • deg — Кут α (у градусах)

Теорема синусів

9 клас
asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

Обчислює радіус R описаного кола навколо трикутника за стороною a і кутом A.

R
R — радіус описаного навколо трикутника кола.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • degA — Кут A (у градусах)

Площа трикутника (через кут)

9 клас
S=12absin⁡γS = \frac{1}{2} a b \sin \gamma

Площа трикутника за двома сторонами і кутом між ними.

γab
γ — кут між сторонами a і b.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • deg — Кут γ (у градусах)

Формула Герона

9 клас
S=p(p−a)(p−b)(p−c),p=a+b+c2S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}

Площа трикутника за трьома відомими сторонами.

abc
Потрібні лише три сторони — висота не потрібна.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c

Площа трикутника (через радіус описаного кола)

9 клас
S=abc4RS = \frac{abc}{4R}

Площа трикутника через три сторони і радіус описаного кола.

R
R — радіус кола, описаного навколо трикутника.
Позначення:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c
  • R — Радіус описаного кола (R)

Площа трикутника (через радіус вписаного кола)

9 клас
S=p⋅rS = p \cdot r

Площа трикутника через півпериметр і радіус вписаного кола.

r
r — радіус кола, вписаного в трикутник.
Позначення:
  • p — Півпериметр (p)
  • r — Радіус вписаного кола (r)

Периметр трикутника (через радіус вписаного кола і площу)

9 клас
P=2SrP = \frac{2S}{r}

Периметр трикутника через його площу і радіус вписаного кола.

rS
S — площа трикутника, r — радіус вписаного кола.
Позначення:
  • S — Площа (S)
  • r — Радіус вписаного кола (r)

Пов'язані теми