Похідні та інтеграли

Таблиця похідних степеневої, показникової, логарифмічної та тригонометричних функцій, правила диференціювання суми, добутку, частки й складеної функції, рівняння дотичної та формула Ньютона — Лейбніца для визначеного інтеграла.

27 формул · 10–11 класи

★ Обране
Усі формули на сторінці (27)
  1. Похідна константи
  2. Похідна степеневої функції
  3. Похідна тригонометричних функцій
  4. Похідна показникової функції
  5. Похідна добутку
  6. Похідна частки
  7. Формула Ньютона — Лейбніца (Інтеграл)
  8. Похідна складеної функції
  9. Похідна суми функцій
  10. Рівняння дотичної до графіка функції
  11. Первісна степеневої функції
  12. Похідна функції x
  13. Похідна функції 1/x
  14. Похідна квадратного кореня
  15. Похідна тангенса
  16. Похідна котангенса
  17. Похідна логарифма за основою a
  18. Похідна натурального логарифма
  19. Первісна константи
  20. Первісна функції 1/x
  21. Первісна функції 1/√x
  22. Первісна синуса
  23. Первісна косинуса
  24. Первісна функції 1/cos²x
  25. Первісна функції 1/sin²x
  26. Первісна показникової функції
  27. Первісна функції eˣ

Похідна константи

10 клас
(c)′=0(c)' = 0

Похідна сталої величини завжди дорівнює нулю.

Позначення:
  • c — Число c

Похідна степеневої функції

11 клас
(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

Значення похідної функції x^n у заданій точці x.

Позначення:
  • x — Значення x
  • n — Степінь n

Похідна тригонометричних функцій

11 клас
(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x

Обчислює значення похідних (sin x)' і (cos x)' у точці x.

Позначення:
  • deg — Кут x (у градусах)

Похідна показникової функції

11 клас
(ax)′=axln⁡a,(ex)′=ex(a^x)' = a^x \ln a, \quad (e^x)' = e^x

Значення похідної функції a^x у точці x.

Позначення:
  • a — Основа a (a>0)
  • x — Показник x

Похідна добутку

11 клас
(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'

Формула диференціювання добутку двох функцій u і v.

Позначення:
  • u — Перша функція
  • u' — Похідна першої функції
  • v — Друга функція
  • v' — Похідна другої функції

Похідна частки

11 клас
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Формула диференціювання частки двох функцій u і v.

Позначення:
  • u — Перша функція
  • u' — Похідна першої функції
  • v — Друга функція
  • v' — Похідна другої функції

Формула Ньютона — Лейбніца (Інтеграл)

11 клас
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)

Обчислює визначений інтеграл через значення первісної.

Позначення:
  • F(b) — Значення первісної в точці b
  • F(a) — Значення первісної в точці a

Похідна складеної функції

11 клас
(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Правило диференціювання складеної функції (ланцюгове правило).

Позначення:
  • fu — Значення f'(u)
  • gx — Значення g'(x)

Похідна суми функцій

11 клас
(u+v)′=u′+v′(u+v)' = u' + v'

Похідна суми функцій дорівнює сумі їхніх похідних.

Позначення:
  • up — Похідна u'
  • vp — Похідна v'

Рівняння дотичної до графіка функції

11 клас
y=f(a)+f′(a)(x−a)y = f(a) + f'(a)(x-a)

Значення дотичної до графіка функції в точці x.

Позначення:
  • fa — Значення функції f(a)
  • fpa — Значення похідної f'(a)
  • a0 — Координата x0
  • x — Аргумент x

Первісна степеневої функції

11 клас
F(x)=xn+1n+1F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}

Первісна (антипохідна) степеневої функції xⁿ при n ≠ −1.

Позначення:
  • x — Значення x
  • n — Показник n

Похідна функції x

11 клас
x′=1x' = 1

Похідна змінної x за самою собою завжди дорівнює одиниці.

Позначення:
  • x — Значення x

Похідна функції 1/x

11 клас
(1x)′=−1x2\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}

Похідна оберненої пропорційної функції в точці x.

Позначення:
  • x — Значення x

Похідна квадратного кореня

11 клас
(x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Похідна функції квадратного кореня в точці x (x > 0).

Позначення:
  • x — Значення x

Похідна тангенса

11 клас
(tg⁡x)′=1cos⁡2x(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

Похідна тангенса в точці x.

Позначення:
  • deg — Кут x (у градусах)

Похідна котангенса

11 клас
(ctg⁡x)′=−1sin⁡2x(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}

Похідна котангенса в точці x.

Позначення:
  • deg — Кут x (у градусах)

Похідна логарифма за основою a

11 клас
(log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

Похідна логарифмічної функції з довільною основою a.

Позначення:
  • x — Значення x
  • a — Основа a (a>0, a≠1)

Похідна натурального логарифма

11 клас
(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}

Похідна натурального логарифма в точці x.

Позначення:
  • x — Значення x

Первісна константи

11 клас
F(x)=kx+CF(x) = kx + C

Первісна сталої величини k.

Позначення:
  • k — Коефіцієнт k
  • x — Значення x

Первісна функції 1/x

11 клас
F(x)=ln⁡∣x∣+CF(x) = \ln|x| + C

Первісна функції, оберненої пропорційної x.

Позначення:
  • x — Значення x

Первісна функції 1/√x

11 клас
F(x)=2x+CF(x) = 2\sqrt{x} + C

Первісна функції, оберненої квадратному кореню з x.

Позначення:
  • x — Значення x

Первісна синуса

11 клас
F(x)=−cos⁡x+CF(x) = -\cos x + C

Первісна функції синуса.

Позначення:
  • deg — Кут x (у градусах)

Первісна косинуса

11 клас
F(x)=sin⁡x+CF(x) = \sin x + C

Первісна функції косинуса.

Позначення:
  • deg — Кут x (у градусах)

Первісна функції 1/cos²x

11 клас
F(x)=tg⁡x+CF(x) = \operatorname{tg} x + C

Первісна функції, оберненої квадрату косинуса.

Позначення:
  • deg — Кут x (у градусах)

Первісна функції 1/sin²x

11 клас
F(x)=−ctg⁡x+CF(x) = -\operatorname{ctg} x + C

Первісна функції, оберненої квадрату синуса.

Позначення:
  • deg — Кут x (у градусах)

Первісна показникової функції

11 клас
F(x)=axln⁡a+CF(x) = \frac{a^x}{\ln a} + C

Первісна показникової функції з довільною основою a.

Позначення:
  • a — Основа a (a>0, a≠1)
  • x — Значення x

Первісна функції eˣ

11 клас
F(x)=ex+CF(x) = e^x + C

Первісна експоненціальної функції eˣ.

Позначення:
  • x — Значення x

Пов'язані теми