Производные и интегралы

Таблица производных степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций, правила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции, уравнение касательной и формула Ньютона — Лейбница для определённого интеграла.

27 формул · 10–11 классы

★ Избранное
Все формулы на странице (27)
  1. Производная константы
  2. Производная степенной функции
  3. Производная тригонометрических функций
  4. Производная показательной функции
  5. Производная произведения
  6. Производная частного
  7. Формула Ньютона — Лейбница (Интеграл)
  8. Производная сложной функции
  9. Производная суммы функций
  10. Уравнение касательной к графику функции
  11. Первообразная степенной функции
  12. Производная функции x
  13. Производная функции 1/x
  14. Производная квадратного корня
  15. Производная тангенса
  16. Производная котангенса
  17. Производная логарифма по основанию a
  18. Производная натурального логарифма
  19. Первообразная константы
  20. Первообразная функции 1/x
  21. Первообразная функции 1/√x
  22. Первообразная синуса
  23. Первообразная косинуса
  24. Первообразная функции 1/cos²x
  25. Первообразная функции 1/sin²x
  26. Первообразная показательной функции
  27. Первообразная функции eˣ

Производная константы

10 класс
(c)′=0(c)' = 0

Производная постоянной величины всегда равна нулю.

Обозначения:
  • c — Число c

Производная степенной функции

11 класс
(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

Значение производной функции x^n в заданной точке x.

Обозначения:
  • x — Значение x
  • n — Степень n

Производная тригонометрических функций

11 класс
(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x

Вычисляет значения производных (sin x)' и (cos x)' в точке x.

Обозначения:
  • deg — Угол x (в градусах)

Производная показательной функции

11 класс
(ax)′=axln⁡a,(ex)′=ex(a^x)' = a^x \ln a, \quad (e^x)' = e^x

Значение производной функции a^x в точке x.

Обозначения:
  • a — Основание a (a>0)
  • x — Показатель x

Производная произведения

11 класс
(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'

Формула дифференцирования произведения двух функций u и v.

Обозначения:
  • u — Первая функция
  • u' — Производная первой функции
  • v — Вторая функция
  • v' — Производная второй функции

Производная частного

11 класс
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Формула дифференцирования частного двух функций u и v.

Обозначения:
  • u — Первая функция
  • u' — Производная первой функции
  • v — Вторая функция
  • v' — Производная второй функции

Формула Ньютона — Лейбница (Интеграл)

11 класс
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)

Вычисляет определённый интеграл через значения первообразной.

Обозначения:
  • F(b) — Значение первообразной в точке b
  • F(a) — Значение первообразной в точке a

Производная сложной функции

11 класс
(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Обозначения:
  • fu — Значение f'(u)
  • gx — Значение g'(x)

Производная суммы функций

11 класс
(u+v)′=u′+v′(u+v)' = u' + v'

Производная суммы функций равна сумме их производных.

Обозначения:
  • up — Производная u'
  • vp — Производная v'

Уравнение касательной к графику функции

11 класс
y=f(a)+f′(a)(x−a)y = f(a) + f'(a)(x-a)

Значение касательной к графику функции в точке x.

Обозначения:
  • fa — Значение функции f(a)
  • fpa — Значение производной f'(a)
  • a0 — Координата x0
  • x — Аргумент x

Первообразная степенной функции

11 класс
F(x)=xn+1n+1F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}

Первообразная (антипроизводная) степенной функции xⁿ при n ≠ −1.

Обозначения:
  • x — Значение x
  • n — Показатель n

Производная функции x

11 класс
x′=1x' = 1

Производная переменной x по самой себе всегда равна единице.

Обозначения:
  • x — Значение x

Производная функции 1/x

11 класс
(1x)′=−1x2\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}

Производная функции, обратной пропорциональной x, в точке x.

Обозначения:
  • x — Значение x

Производная квадратного корня

11 класс
(x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Производная функции квадратного корня в точке x (x > 0).

Обозначения:
  • x — Значение x

Производная тангенса

11 класс
(tg⁡x)′=1cos⁡2x(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

Производная тангенса в точке x.

Обозначения:
  • deg — Угол x (в градусах)

Производная котангенса

11 класс
(ctg⁡x)′=−1sin⁡2x(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}

Производная котангенса в точке x.

Обозначения:
  • deg — Угол x (в градусах)

Производная логарифма по основанию a

11 класс
(log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

Производная логарифмической функции с произвольным основанием a.

Обозначения:
  • x — Значение x
  • a — Основание a (a>0, a≠1)

Производная натурального логарифма

11 класс
(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}

Производная натурального логарифма в точке x.

Обозначения:
  • x — Значение x

Первообразная константы

11 класс
F(x)=kx+CF(x) = kx + C

Первообразная постоянной величины k.

Обозначения:
  • k — Коэффициент k
  • x — Значение x

Первообразная функции 1/x

11 класс
F(x)=ln⁡∣x∣+CF(x) = \ln|x| + C

Первообразная функции, обратной пропорциональной x.

Обозначения:
  • x — Значение x

Первообразная функции 1/√x

11 класс
F(x)=2x+CF(x) = 2\sqrt{x} + C

Первообразная функции, обратной квадратному корню из x.

Обозначения:
  • x — Значение x

Первообразная синуса

11 класс
F(x)=−cos⁡x+CF(x) = -\cos x + C

Первообразная функции синуса.

Обозначения:
  • deg — Угол x (в градусах)

Первообразная косинуса

11 класс
F(x)=sin⁡x+CF(x) = \sin x + C

Первообразная функции косинуса.

Обозначения:
  • deg — Угол x (в градусах)

Первообразная функции 1/cos²x

11 класс
F(x)=tg⁡x+CF(x) = \operatorname{tg} x + C

Первообразная функции, обратной квадрату косинуса.

Обозначения:
  • deg — Угол x (в градусах)

Первообразная функции 1/sin²x

11 класс
F(x)=−ctg⁡x+CF(x) = -\operatorname{ctg} x + C

Первообразная функции, обратной квадрату синуса.

Обозначения:
  • deg — Угол x (в градусах)

Первообразная показательной функции

11 класс
F(x)=axln⁡a+CF(x) = \frac{a^x}{\ln a} + C

Первообразная показательной функции с произвольным основанием a.

Обозначения:
  • a — Основание a (a>0, a≠1)
  • x — Значение x

Первообразная функции eˣ

11 класс
F(x)=ex+CF(x) = e^x + C

Первообразная экспоненциальной функции eˣ.

Обозначения:
  • x — Значение x

Связанные темы