Формулы векторов и координат

Действия с векторами и координатами на плоскости и в пространстве: сумма и разность, длина, скалярное произведение, угол между векторами, расстояние между точками, середина отрезка, угловой коэффициент прямой и расстояние от точки до прямой.

14 формул · 8–11 классы

★ Избранное
Все формулы на странице (14)
  1. Расстояние между двумя точками
  2. Середина отрезка (координаты)
  3. Скалярное произведение векторов
  4. Длина вектора по координатам
  5. Сумма векторов по координатам
  6. Косинус угла между векторами (2D)
  7. Угловой коэффициент прямой по двум точкам
  8. Расстояние от точки до прямой
  9. Радиус окружности по уравнению
  10. Разность векторов по координатам
  11. Скалярное произведение векторов (через модули и угол)
  12. Угол между векторами в пространстве
  13. Длина вектора в пространстве
  14. Расстояние между двумя точками в пространстве

Расстояние между двумя точками

8 класс
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

Длина отрезка между двумя точками на координатной плоскости.

ABd
d — расстояние между точками A и B на плоскости.
Обозначения:
  • x1 — Координата x первой точки
  • y1 — Координата y первой точки
  • x2 — Координата x второй точки
  • y2 — Координата y второй точки

Середина отрезка (координаты)

8 класс
M(x1+x22, y1+y22)M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)

Координаты точки, делящей отрезок пополам.

ABM
M — середина отрезка AB.
Обозначения:
  • x1 — Координата x первой точки
  • y1 — Координата y первой точки
  • x2 — Координата x второй точки
  • y2 — Координата y второй точки

Скалярное произведение векторов

9 класс
a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2

Скалярное произведение двух векторов на плоскости по координатам.

ab
Скалярное произведение считается по координатам векторов.
Обозначения:
  • x1 — Координата x первого вектора
  • y1 — Координата y первого вектора
  • x2 — Координата x второго вектора
  • y2 — Координата y второго вектора

Длина вектора по координатам

9 класс
∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}

Длина (модуль) вектора на плоскости.

xy
Длина вектора — по теореме Пифагора от его координат.
Обозначения:
  • x — Координата x
  • y — Координата y

Сумма векторов по координатам

9 класс
a⃗+b⃗=(ax+bx, ay+by)\vec{a}+\vec{b} = (a_x+b_x,\ a_y+b_y)

Сложение векторов покоординатно.

aba+b
Векторы складываются «по правилу треугольника».
Обозначения:
  • a_x — Координата x вектора a
  • a_y — Координата y вектора a
  • b_x — Координата x вектора b
  • b_y — Координата y вектора b

Косинус угла между векторами (2D)

9 класс
cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}

Косинус угла между двумя векторами на плоскости через их координаты.

α
Косинус угла между векторами на плоскости.
Обозначения:
  • a_x — Координата x вектора a
  • a_y — Координата y вектора a
  • b_x — Координата x вектора b
  • b_y — Координата y вектора b

Угловой коэффициент прямой по двум точкам

9 класс
k=y2−y1x2−x1k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки.

ΔxΔy
k — отношение изменения y к изменению x.
Обозначения:
  • x1 — Координата x первой точки
  • y1 — Координата y первой точки
  • x2 — Координата x второй точки
  • y2 — Координата y второй точки

Расстояние от точки до прямой

9 класс
d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Кратчайшее расстояние от точки до прямой, заданной уравнением Ax+By+C=0.

Md
d — кратчайшее расстояние (по перпендикуляру) от точки до прямой.
Обозначения:
  • A — Коэффициент a
  • B — Коэффициент b
  • C — Коэффициент c
  • x0 — Координата x0
  • y0 — Координата y0

Радиус окружности по уравнению

9 класс
r=(x−a)2+(y−b)2r = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}

Радиус окружности с центром (a,b), проходящей через точку (x,y).

r(a, b)(x, y)
Центр окружности в точке (a, b), точка (x, y) на ней.
Обозначения:
  • x0 — Координата x0
  • y0 — Координата y0
  • x — Координата x
  • y — Координата y

Разность векторов по координатам

9 класс
a⃗−b⃗=(ax−bx, ay−by)\vec a-\vec b = (a_x-b_x,\ a_y-b_y)

Вычитание векторов покоординатно.

aba−b
Разность векторов направлена от конца b к концу a.
Обозначения:
  • ax — a_x
  • ay — a_y
  • bx — b_x
  • by — b_y

Скалярное произведение векторов (через модули и угол)

9 класс
A⃗⋅B⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡α\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos\alpha

Скалярное произведение векторов через их длины и угол между ними.

αab
α — угол между векторами a и b.
Обозначения:
  • a — Модуль вектора a (|a|)
  • b — Модуль вектора b (|b|)
  • alpha — Угол α (град)

Угол между векторами в пространстве

11 класс
cos⁡θ=x1x2+y1y2+z1z2∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos \theta = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Косинус угла между двумя трёхмерными векторами по их координатам.

α
Угол между векторами в трёхмерном пространстве.
Обозначения:
  • a_x — Координата x первого вектора
  • a_y — Координата y первого вектора
  • a_z — Координата z первого вектора
  • b_x — Координата x второго вектора
  • b_y — Координата y второго вектора
  • b_z — Координата z второго вектора

Длина вектора в пространстве

11 класс
∣a⃗∣=x2+y2+z2|\vec a| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}

Длина (модуль) вектора в трёхмерном пространстве по его координатам.

xyz
В пространстве добавляется третья координата z.
Обозначения:
  • x — a_x
  • y — a_y
  • z — a_z

Расстояние между двумя точками в пространстве

11 класс
AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}

Длина отрезка между двумя точками в трёхмерном пространстве.

ABd
Расстояние между точками в трёхмерном пространстве.
Обозначения:
  • x1 — Координата x первой точки
  • y1 — Координата y первой точки
  • z1 — Координата z первой точки
  • x2 — Координата x второй точки
  • y2 — Координата y второй точки
  • z2 — Координата z второй точки

Связанные темы