Шпаргалка по формулам математики

Выберите класс или предмет, затем распечатайте страницу или сохраните её в PDF. На печать пойдут только те формулы, которые вы видите.

★ Избранное

Совет: в окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы получить файл.

ФСУ

Переместительный закон сложения

5 класс
a+b=b+aa + b = b + a

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

Обозначения:
  • a — Слагаемое a
  • b — Слагаемое b

Переместительный закон умножения

5 класс
a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot a

От перестановки множителей произведение не меняется.

Обозначения:
  • a — Множитель a
  • b — Множитель b

Распределительный закон

5 класс
a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Умножение числа на сумму двух слагаемых.

Обозначения:
  • a — Число a
  • b — Число b
  • c — Число c

Сочетательный закон сложения

5 класс
(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)

Результат сложения не зависит от группировки слагаемых.

Обозначения:
  • a — Слагаемое a
  • b — Слагаемое b
  • c — Слагаемое c

Сочетательный закон умножения

5 класс
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

Результат умножения не зависит от группировки множителей.

Обозначения:
  • a — Множитель a
  • b — Множитель b
  • c — Множитель c

Квадрат суммы

7 класс
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Формула сокращённого умножения для квадрата суммы.

Обозначения:
  • a — Число a
  • b — Число b

Квадрат разности

7 класс
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Формула сокращённого умножения для квадрата разности.

Обозначения:
  • a — Число a
  • b — Число b

Разность квадратов

7 класс
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Разложение разности квадратов на множители.

Обозначения:
  • a — Число a
  • b — Число b

Куб суммы

7 класс
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Куб суммы двух выражений.

Обозначения:
  • a — Число a
  • b — Число b

Куб разности

7 класс
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Куб разности двух выражений.

Обозначения:
  • a — Число a
  • b — Число b

Сумма кубов

7 класс
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Разложение суммы кубов на множители.

Обозначения:
  • a — Число a
  • b — Число b

Разность кубов

7 класс
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Разложение разности кубов на множители.

Обозначения:
  • a — Число a
  • b — Число b

Уравнения и Параболы

Формула пути (расстояние)

5 класс
S=v⋅tS = v \cdot t

Пройденное расстояние при равномерном движении.

Обозначения:
  • v — Скорость (v)
  • t — Время (t)

Формула скорости

5 класс
v=Stv = \frac{S}{t}

Скорость движения как отношение пути ко времени.

Обозначения:
  • S — Расстояние (S)
  • t — Время (t)

Формула времени движения

5 класс
t=Svt = \frac{S}{v}

Время движения как отношение пути к скорости.

Обозначения:
  • S — Расстояние (S)
  • v — Скорость (v)

Скорость по течению реки

5 класс
v=v0+v1v = v_0 + v_1

Сумма собственной скорости объекта и скорости течения.

Обозначения:
  • v_self — Собственная скорость
  • v_flow — Скорость течения

Скорость против течения реки

5 класс
v=v0−v1v = v_0 - v_1

Разность собственной скорости объекта и скорости течения.

Обозначения:
  • v_self — Собственная скорость
  • v_flow — Скорость течения

Стоимость покупки

5 класс
C=a⋅nC = a \cdot n

Общая стоимость как произведение цены за единицу товара на количество.

Обозначения:
  • a — Цена товара (a)
  • n — Количество (n)

Работа (производительность)

5 класс
A=v⋅tA = v \cdot t

Объём выполненной работы через производительность и время.

Обозначения:
  • v — Производительность (v)
  • t — Время (t)

Деление с остатком

5 класс
a=b⋅q+ra = b \cdot q + r

Представление делимого через делитель, неполное частное и остаток.

Обозначения:
  • b — Делитель (b)
  • q — Неполное частное (q)
  • r — Остаток (r)

Среднее арифметическое

5 класс
M=a1+a2+⋯+annM = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}

Вычисляет среднее арифметическое двух или трёх введённых чисел.

Обозначения:
  • a1 — Число 1
  • a2 — Число 2
  • a3 — Число 3 (опционально: 0)

Основное свойство дроби

6 класс
ab=a⋅cb⋅c\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}

Увеличение числителя и знаменателя в c раз сохраняет значение дроби.

Обозначения:
  • a — Числитель a
  • b — Знаменатель b
  • c — Множитель c (c≠0)

Умножение обыкновенных дробей

6 класс
ab⋅cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Перемножаются отдельно числители и знаменатели.

Обозначения:
  • a — Числитель первой дроби
  • b — Знаменатель первой дроби
  • c — Числитель второй дроби
  • d — Знаменатель второй дроби

Деление обыкновенных дробей

6 класс
ab:cd=a⋅db⋅c\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Умножение первой дроби на перевёрнутую вторую.

Обозначения:
  • a — Числитель первой дроби
  • b — Знаменатель первой дроби
  • c — Числитель второй дроби
  • d — Знаменатель второй дроби

Основное свойство пропорции

6 класс
ab=cd⇒a⋅d=b⋅c\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.

Обозначения:
  • a — Крайний член (1-й)
  • b — Средний член (1-й)
  • c — Средний член (2-й)
  • d — Крайний член (2-й)

Модуль числа

6 класс
∣a∣={a,a≥0−a,a<0|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}

Абсолютная величина числа (расстояние до нуля на координатной прямой).

Обозначения:
  • a — Число a

Сложение чисел с разными знаками

6 класс
a+(−b)=a−ba + (-b) = a - b

Прибавление отрицательного числа эквивалентно вычитанию его модуля.

Обозначения:
  • a — Число a
  • b — Модуль отрицательного b

Умножение отрицательных чисел

6 класс
(−a)⋅(−b)=a⋅b(-a) \cdot (-b) = a \cdot b

Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно.

Обозначения:
  • a — Модуль первого числа (a)
  • b — Модуль второго числа (b)

Умножение чисел с разными знаками

6 класс
(−a)⋅b=−(a⋅b)(-a) \cdot b = -(a \cdot b)

Произведение чисел с разными знаками всегда отрицательно.

Обозначения:
  • a — Модуль первого (a)
  • b — Модуль второго (b)

НОД (наибольший общий делитель)

6 класс
gcd⁡(a,b)\gcd(a, b)

Наибольшее число, на которое делятся оба числа без остатка.

Обозначения:
  • a — Число a
  • b — Число b

НОК (наименьшее общее кратное)

6 класс
lcm⁡(a,b)=a⋅bgcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{a \cdot b}{\gcd(a,b)}

Наименьшее число, кратное одновременно обоим числам.

Обозначения:
  • a — Число a
  • b — Число b

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

6 класс
ac+bc=a+bc\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}

Числители складываются, знаменатель остаётся без изменений.

Обозначения:
  • a — Числитель a
  • b — Числитель b
  • c — Знаменатель c

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

6 класс
ac−bc=a−bc\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}

Числители вычитаются, знаменатель остаётся без изменений.

Обозначения:
  • a — Числитель a
  • b — Числитель b
  • c — Знаменатель c

Нахождение неизвестного члена пропорции

6 класс
ab=cx⇒x=b⋅ca\frac{a}{b}=\frac{c}{x} \Rightarrow x=\frac{b \cdot c}{a}

Находит четвёртый (неизвестный) член пропорции.

Обозначения:
  • a — Первый член пропорции (a)
  • b — Второй член пропорции (b)
  • c — Третий член пропорции (c)

Масштаб карты

6 класс
M=DdM = \frac{D}{d}

Показывает, во сколько раз расстояние на местности больше расстояния на карте.

Обозначения:
  • d — Расстояние на карте (d)
  • D — Расстояние на местности (D)

Линейная функция

7 класс
y=kx+by = kx + b

Вычисление значения y по аргументу x, угловому коэффициенту k и сдвигу b.

Обозначения:
  • k — Коэффициент k
  • x — Аргумент x
  • b — Свободный член b

Линейное уравнение (корень)

7 класс
ax+b=0⇒x=−baax+b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{a}

Корень линейного уравнения с одной переменной.

Обозначения:
  • a — Коэффициент a
  • b — Коэффициент b

Система двух линейных уравнений

7 класс
x=c1b2−c2b1a1b2−a2b1, y=a1c2−a2c1a1b2−a2b1x=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1},\ y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом определителей.

Обозначения:
  • a1 — Коэффициент a1
  • b1 — Коэффициент b1
  • c1 — Коэффициент c1
  • a2 — Коэффициент a2
  • b2 — Коэффициент b2
  • c2 — Коэффициент c2

Дискриминант

8 класс
D=b2−4acD = b^2 - 4ac

Определяет количество вещественных корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

Обозначения:
  • a — Коэффициент a
  • b — Коэффициент b
  • c — Коэффициент c

Корни квадратного уравнения

8 класс
x1,2=−b±D2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Нахождение корней уравнения через дискриминант.

Обозначения:
  • a — Коэффициент a
  • b — Коэффициент b
  • c — Коэффициент c

Теорема Виета (приведённое)

8 класс
x1+x2=−p,x1⋅x2=qx_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q

Связывает корни уравнения x² + px + q = 0 с коэффициентами.

Обозначения:
  • p — Коэффициент p
  • q — Коэффициент q

Разложение квадратного трёхчлена

8 класс
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Представление трёхчлена в виде произведения с использованием его корней.

Обозначения:
  • a — Коэффициент a
  • x1 — Корень x1
  • x2 — Корень x2

Теорема Виета (общий случай)

8 класс
x1+x2=−ba,x1⋅x2=cax_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}

Связывает корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0 с его коэффициентами.

Обозначения:
  • a — Коэффициент a
  • b — Коэффициент b
  • c — Коэффициент c

Функция обратной пропорциональности

8 класс
y=kxy = \frac{k}{x}

Значение функции обратной пропорциональности в точке x.

Обозначения:
  • k — Коэффициент k
  • x — Аргумент x

Формула вершины параболы (x)

9 класс
x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}

Вычисляет координату X вершины параболы ax² + bx + c.

Обозначения:
  • a — Коэффициент a
  • b — Коэффициент b

Формула вершины параболы (y)

9 класс
y0=ax02+bx0+cy_0 = a x_0^2 + b x_0 + c

Вычисляет значение Y вершины параболы по x₀ и коэффициентам.

Обозначения:
  • a — Коэффициент a
  • b — Коэффициент b
  • c — Коэффициент c
  • x0 — Координата x0

Медиана выборки (5 чисел)

9 класс
Me=x(3)\mathrm{Me} = x_{(3)}

Число, которое находится в середине упорядоченного набора данных.

Обозначения:
  • x1 — Число 1
  • x2 — Число 2
  • x3 — Число 3
  • x4 — Число 4
  • x5 — Число 5

Мода выборки (5 чисел)

9 класс
Mo\mathrm{Mo}

Значение, которое встречается в наборе данных чаще всего.

Обозначения:
  • x1 — Число 1
  • x2 — Число 2
  • x3 — Число 3
  • x4 — Число 4
  • x5 — Число 5

Размах выборки (5 чисел)

9 класс
R=xmax−xminR = x_{max} - x_{min}

Разность между наибольшим и наименьшим значением в наборе данных.

Обозначения:
  • x1 — Число 1
  • x2 — Число 2
  • x3 — Число 3
  • x4 — Число 4
  • x5 — Число 5

Треугольники

Периметр произвольного треугольника

5 класс
P=a+b+cP = a+b+c

Сумма длин всех трёх сторон треугольника.

abc
Периметр — сумма длин трёх сторон.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c

Периметр равностороннего треугольника

5 класс
P=3aP = 3a

Сумма длин трёх равных сторон равностороннего треугольника.

aaa
Три равные стороны — периметр втрое больше стороны.
Обозначения:
  • a — Сторона a

Сумма углов треугольника

7 класс
α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Находит третий угол треугольника по двум известным.

αβγ
Сумма трёх внутренних углов любого треугольника равна 180°.
Обозначения:
  • alpha — Угол α (град)
  • beta — Угол β (град)

Внешний угол треугольника

7 класс
α=β+γ\alpha = \beta + \gamma

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

αβφ
Внешний угол φ равен сумме двух несмежных внутренних.
Обозначения:
  • beta — Угол β (град)
  • gamma — Угол γ (град)

Неравенство треугольника

7 класс
a<b+ca < b + c

Проверяет возможность существования треугольника по двум сторонам b и c.

cab
Любая сторона меньше суммы двух других.
Обозначения:
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c

Периметр равнобедренного треугольника

7 класс
P=2a+bP = 2a + b

Периметр треугольника с боковыми сторонами a и основанием b.

aab
Две боковые стороны равны, b — основание.
Обозначения:
  • a — Боковая сторона a
  • b — Основание b

Свойство смежных углов

7 класс
α+β=180∘\alpha + \beta = 180^\circ

Сумма двух смежных углов равна 180 градусов.

βα
Смежные углы вместе составляют развёрнутый угол 180°.
Обозначения:
  • alpha — Угол α (град)

Свойство вертикальных углов

7 класс
α=β\alpha = \beta

Вертикальные углы равны между собой.

αα
Вертикальные углы (напротив друг друга) равны.
Обозначения:
  • alpha — Угол α (град)

Свойство равнобедренного треугольника

7 класс
β1=β2\beta_1 = \beta_2

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

β₁β₂
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Обозначения:
  • alpha — Угол α (град)

Теорема Пифагора

8 класс
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Нахождение гипотенузы c прямоугольного треугольника по двум катетам.

abc
c — гипотеза (против прямого угла), a и b — катеты.
Обозначения:
  • a — Катет a
  • b — Катет b

Площадь треугольника

8 класс
S=12a⋅hS = \frac{1}{2} a \cdot h

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту.

ah
h — высота, опущенная на сторону a под прямым углом.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • h — Высота h

Площадь прямоугольного треугольника

8 класс
S=12a⋅bS = \frac{1}{2} a \cdot b

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

ab
Катеты a и b служат основанием и высотой одновременно.
Обозначения:
  • a — Катет a
  • b — Катет b

Средняя линия треугольника

8 класс
m=12am = \frac{1}{2} a

Средняя линия равна половине параллельной ей стороны.

am
Средняя линия соединяет середины двух сторон и равна половине третьей.
Обозначения:
  • a — Параллельная сторона a

Коэффициент подобия треугольников

8 класс
k=aa′k = \frac{a}{a'}

Отношение соответственных сторон подобных треугольников.

aa₁меньшийбольший
k — во сколько раз одна фигура больше другой.
Обозначения:
  • a — Сторона исходного треугольника (a)
  • aPrime — Сторона подобного треугольника (a')

Отношение площадей подобных фигур

8 класс
S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

aa₁меньшийбольший
Площади относятся как квадрат коэффициента подобия.
Обозначения:
  • k — Коэффициент подобия (k)

Теорема Фалеса (четвёртый пропорциональный отрезок)

8 класс
ab=cd⇒d=b⋅ca\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow d = \frac{b \cdot c}{a}

Находит четвёртый отрезок, пропорциональный трём известным.

abcd
Параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки.
Обозначения:
  • a — Отрезок a
  • b — Отрезок b
  • c — Отрезок c

Площадь равностороннего треугольника

8 класс
S=a234S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

Площадь треугольника с тремя равными сторонами.

aaaS
У равностороннего треугольника все три стороны равны.
Обозначения:
  • a — Сторона a

Отношение периметров подобных фигур

8 класс
P1P2=k\frac{P_1}{P_2} = k

Отношение периметров подобных фигур равно коэффициенту подобия.

aa₁меньшийбольший
Периметры относятся так же, как стороны.
Обозначения:
  • k — Коэффициент подобия (k)

Признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу)

8 класс
a1a2=b1b2⇒△∼△\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \Rightarrow \triangle \sim \triangle

Проверяет подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS).

αα
Две пары пропорциональных сторон и равный угол между ними.
Обозначения:
  • a1 — Сторона исходного треугольника (a)
  • b1 — Сторона исходного треугольника (b)
  • a2 — Сторона подобного треугольника (a')
  • b2 — Сторона подобного треугольника (b')

Теорема косинусов

9 класс
a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Находит сторону a по двум известным сторонам и углу между ними.

αcba
a — сторона напротив угла α.
Обозначения:
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c
  • deg — Угол α (в градусах)

Теорема синусов

9 класс
asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

Вычисляет радиус R описанной окружности около треугольника по стороне a и углу A.

R
R — радиус описанной вокруг треугольника окружности.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • degA — Угол A (в градусах)

Площадь треугольника (через угол)

9 класс
S=12absin⁡γS = \frac{1}{2} a b \sin \gamma

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними.

γab
γ — угол между сторонами a и b.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • deg — Угол γ (в градусах)

Формула Герона

9 класс
S=p(p−a)(p−b)(p−c),p=a+b+c2S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}

Площадь треугольника по трём известным сторонам.

abc
Нужны только три стороны — высота не требуется.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c

Площадь треугольника (через радиус описанной окружности)

9 класс
S=abc4RS = \frac{abc}{4R}

Площадь треугольника через три стороны и радиус описанной окружности.

R
R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • c — Сторона c
  • R — Радиус описанной окр. (R)

Площадь треугольника (через радиус вписанной окружности)

9 класс
S=p⋅rS = p \cdot r

Площадь треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности.

r
r — радиус окружности, вписанной в треугольник.
Обозначения:
  • p — Полупериметр (p)
  • r — Радиус вписанной окр. (r)

Периметр треугольника (через радиус вписанной окружности и площадь)

9 класс
P=2SrP = \frac{2S}{r}

Периметр треугольника через его площадь и радиус вписанной окружности.

rS
S — площадь треугольника, r — радиус вписанной окружности.
Обозначения:
  • S — Площадь (S)
  • r — Радиус вписанной окр. (r)

Площади фигур

Площадь прямоугольника

5 класс
S=a⋅bS = a \cdot b

Произведение длины на ширину.

Sab
Площадь — произведение двух соседних сторон.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b

Площадь квадрата

5 класс
S=a2S = a^2

Квадрат длины его стороны.

Sa
Площадь квадрата — сторона, умноженная сама на себя.
Обозначения:
  • a — Сторона a

Площадь параллелограмма

8 класс
S=a⋅haS = a \cdot h_a

Площадь параллелограмма через сторону и опущенную на неё высоту.

ah
h — высота, проведённая к стороне a.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • ha — Высота h_a

Площадь ромба (через диагонали)

8 класс
S=12d1⋅d2S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2

Площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей.

d₁d₂
d₁ и d₂ — диагонали, пересекающиеся под прямым углом.
Обозначения:
  • d1 — Диагональ d1
  • d2 — Диагональ d2

Диагонали параллелограмма

8 класс
OA=OC=d2OA = OC = \frac{d}{2}

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

d₁d₂ab
Сумма квадратов диагоналей связана со сторонами.
Обозначения:
  • d — Диагональ параллелограмма (d)

Сумма углов при боковой стороне параллелограмма

8 класс
β=180∘−α\beta = 180^\circ - \alpha

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне параллелограмма, равна 180°.

αβab
Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°.
Обозначения:
  • alpha — Угол α (град)

Диагональ квадрата

8 класс
d=a2d = a\sqrt{2}

Диагональ квадрата через длину его стороны.

ad
Диагональ квадрата соединяет противоположные вершины.
Обозначения:
  • a — Сторона a

Диагональ прямоугольника

8 класс
d=a2+b2d = \sqrt{a^2+b^2}

Диагональ прямоугольника через длину и ширину.

abd
Диагональ находится по теореме Пифагора.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b

Площадь ромба (через сторону и высоту)

8 класс
S=a⋅hS = a \cdot h

Площадь ромба как произведение стороны на высоту.

ha
h — высота, опущенная на сторону a.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • h — Высота h

Площадь описанного многоугольника

9 класс
S=p⋅rS = p \cdot r

Площадь через полупериметр p и радиус вписанной окружности r.

ra
r — радиус вписанной окружности, p — полупериметр.
Обозначения:
  • p — Полупериметр (p)
  • r — Радиус вписанной окр. (r)

Площадь правильного многоугольника

9 класс
S=12PrS = \frac{1}{2} P r

Площадь правильного многоугольника через периметр P и радиус вписанной окружности r.

ra
У правильного многоугольника все стороны и углы равны.
Обозначения:
  • P — Периметр (P)
  • r — Радиус вписанной окр. (r)

Площадь квадрата (через диагональ)

9 класс
S=d22S = \frac{d^2}{2}

Площадь квадрата, выраженная через его диагональ.

Sd
d — диагональ квадрата, S — его площадь.
Обозначения:
  • d — Диагональ (d)

Площадь параллелограмма (через стороны и угол)

9 класс
S=a⋅b⋅sin⁡αS = a \cdot b \cdot \sin \alpha

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними.

αab
α — угол между сторонами a и b.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b
  • alpha — Угол α (в градусах)

Площадь параллелограмма (через диагонали и угол)

9 класс
S=12d1d2sin⁡γS = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \gamma

Площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними.

d₁d₂γ
γ — угол между диагоналями d₁ и d₂.
Обозначения:
  • d1 — Диагональ d1
  • d2 — Диагональ d2
  • gamma — Угол γ (в градусах)

Площадь ромба (через сторону и угол)

9 класс
S=a2⋅sin⁡αS = a^2 \cdot \sin \alpha

Площадь ромба через сторону и угол между сторонами.

αa
α — угол между двумя сторонами ромба.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • alpha — Угол α (в градусах)

Площадь правильного многоугольника (через сторону)

9 класс
S=na24tan⁡(180∘/n)S = \frac{n a^2}{4 \tan(180^\circ / n)}

Площадь правильного n-угольника через длину стороны, без радиуса вписанной окружности.

an сторін
a — сторона, n — количество сторон многоугольника.
Обозначения:
  • n — Количество сторон (n)
  • a — Сторона (a)

Площадь эллипса

9 класс
S=πabS = \pi a b

Площадь эллипса через длины его большой и малой полуосей.

ab
a — большая полуось, b — малая полуось эллипса.
Обозначения:
  • a — Большая полуось (a)
  • b — Малая полуось (b)

Периметры фигур

Периметр прямоугольника

5 класс
P=2⋅(a+b)P = 2 \cdot (a + b)

Сумма длин всех сторон прямоугольника.

ab
Периметр — сумма длин всех четырёх сторон.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b

Периметр квадрата

5 класс
P=4⋅aP = 4 \cdot a

Сумма длин четырёх равных сторон квадрата.

aaaa
Все четыре стороны квадрата равны.
Обозначения:
  • a — Сторона a

Периметр произвольного многоугольника

5 класс
P=a1+a2+a3+a4+a5P = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5

Периметр любого многоугольника равен сумме длин всех его сторон. Показано на примере пятиугольника — для другого числа сторон складываются все стороны точно так же.

a₁a₂a₃a₄a₅
Периметр — сумма длин всех сторон, сколько бы их ни было.
Обозначения:
  • a1 — Сторона a₁
  • a2 — Сторона a₂
  • a3 — Сторона a₃
  • a4 — Сторона a₄
  • a5 — Сторона a₅

Периметр параллелограмма

8 класс
P=2(a+b)P = 2(a+b)

Сумма длин всех сторон параллелограмма.

ab
Противоположные стороны параллелограмма равны.
Обозначения:
  • a — Сторона a
  • b — Сторона b

Периметр ромба

8 класс
P=4aP = 4a

Сумма длин четырёх равных сторон ромба.

aaaa
У ромба все четыре стороны равны.
Обозначения:
  • a — Сторона a

Периметр правильного многоугольника

8 класс
P=n⋅aP = n \cdot a

Периметр правильного многоугольника как произведение числа сторон на длину стороны.

a
n одинаковых сторон длиной a.
Обозначения:
  • n — Количество сторон (n)
  • a — Сторона (a)

Периметр квадрата (через диагональ)

8 класс
P=22 dP = 2\sqrt{2}\, d

Периметр квадрата, выраженный через его диагональ.

dP = 4a
d — диагональ квадрата, через неё же можно выразить периметр.
Обозначения:
  • d — Диагональ (d)

Трапеция

Площадь трапеции

8 класс
S=a+b2⋅hS = \frac{a + b}{2} \cdot h

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

abh
a и b — основания, h — высота между ними.
Обозначения:
  • a — Основание a
  • b — Основание b
  • h — Высота h

Средняя линия трапеции

8 класс
m=a+b2m = \frac{a + b}{2}

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

abm
m — средняя линия, соединяет середины боковых сторон.
Обозначения:
  • a — Основание a
  • b — Основание b

Периметр трапеции

8 класс
P=a+b+c+dP = a + b + c + d

Сумма длин всех четырёх сторон трапеции.

cdab
Периметр — сумма двух оснований и двух боковых сторон.
Обозначения:
  • a — Основание a
  • b — Основание b
  • c — Боковая сторона c
  • d — Боковая сторона d

Высота трапеции (через площадь)

8 класс
h=2Sa+bh = \frac{2S}{a+b}

Высота трапеции, выраженная через её площадь и основания.

hab
Высота выражается из формулы площади трапеции.
Обозначения:
  • S — Площадь (S)
  • a — Основание a
  • b — Основание b

Отрезок между серединами диагоналей

8 класс
MN=∣a−b∣2MN = \frac{|a-b|}{2}

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности её оснований.

ab
Отрезок между серединами диагоналей — полуразность оснований.
Обозначения:
  • a — Основание a
  • b — Основание b

Сумма углов при боковой стороне трапеции

8 класс
β=180∘−α\beta = 180^\circ - \alpha

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна 180°.

αβab
Углы при одной боковой стороне в сумме дают 180°.
Обозначения:
  • alpha — Угол α (град)

Основание трапеции через среднюю линию

8 класс
a=2m−ba = 2m - b

Основание трапеции, выраженное через среднюю линию и другое основание.

mab
Средняя линия — полусумма оснований.
Обозначения:
  • m — Средняя линия m
  • b — Основание b

Площадь трапеции (через среднюю линию и высоту)

8 класс
S=m⋅hS = m \cdot h

Площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

mh
m — средняя линия, h — высота трапеции.
Обозначения:
  • m — Средняя линия m
  • h — Высота h

Периметр равнобокой трапеции

8 класс
P=a+b+2cP = a + b + 2c

Периметр равнобокой (равнобедренной) трапеции, у которой обе боковые стороны равны.

abcc
Обе боковые стороны c равны — трапеция равнобокая.
Обозначения:
  • a — Основание a
  • b — Основание b
  • c — Боковая сторона c

Сумма квадратов диагоналей трапеции

9 класс
d12+d22=2ab+c2+d2d_1^2 + d_2^2 = 2ab + c^2 + d^2

Связывает диагонали трапеции с длинами оснований и боковых сторон.

d₁d₂
d₁ и d₂ — диагонали трапеции.
Обозначения:
  • a — Основание a
  • b — Основание b
  • c — Боковая сторона c
  • d — Боковая сторона d

Основание трапеции через высоту и углы при основании

9 класс
a=b+h⋅(ctg⁡α+ctg⁡β)a = b + h \cdot (\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}\beta)

Большее основание трапеции через меньшее основание, высоту и углы при нижнем основании.

αβhab
Высота и углы при основании достраивают большее основание.
Обозначения:
  • b — Основание b
  • h — Высота h
  • alpha — Угол α (град)
  • beta — Угол β (град)

Основание трапеции через боковые стороны и углы

9 класс
a=b+ccos⁡α+dcos⁡βa = b + c\cos\alpha + d\cos\beta

Большее основание трапеции через меньшее основание, боковые стороны и углы при нижнем основании.

αβcdab
Боковые стороны и углы при основании дают большее основание.
Обозначения:
  • b — Основание b
  • c — Боковая сторона c
  • d — Боковая сторона d
  • alpha — Угол α (град)
  • beta — Угол β (град)

Боковая сторона трапеции через высоту и угол

9 класс
c=hsin⁡αc = \frac{h}{\sin \alpha}

Боковая сторона трапеции через высоту и прилежащий угол при основании.

αchab
Боковая сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетом h.
Обозначения:
  • h — Высота h
  • alpha — Угол α (град)

Высота трапеции через боковую сторону и угол

9 класс
h=c⋅sin⁡αh = c \cdot \sin \alpha

Высота трапеции через боковую сторону и прилежащий угол при основании.

αch
α — угол при основании, c — боковая сторона.
Обозначения:
  • c — Боковая сторона c
  • alpha — Угол α (град)

Площадь трапеции (через диагонали и угол)

9 класс
S=12d1d2sin⁡φS = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними.

d₁d₂φ
φ — угол между диагоналями трапеции.
Обозначения:
  • d1 — Диагональ d1
  • d2 — Диагональ d2
  • phi — Угол φ (в градусах)

Окружность и Круг

Длина окружности (через диаметр)

6 класс
C=π⋅dC = \pi \cdot d

Вычисление длины границы круга через диаметр.

d
d — диаметр, проходит через центр от края до края.
Обозначения:
  • d — Диаметр (d)

Длина окружности (через радиус)

6 класс
C=2πrC = 2 \pi r

Вычисление длины границы круга через радиус.

r
r — радиус, от центра до любой точки окружности.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)

Площадь круга

6 класс
S=πr2S = \pi r^2

Площадь области, ограниченной окружностью радиуса r.

rS
S — площадь всей закрашенной части круга.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)

Зависимость диаметра и радиуса

6 класс
d=2rd = 2r

Диаметр окружности равен двум радиусам.

rrd
Диаметр состоит из двух радиусов.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)

Площадь круга через диаметр

6 класс
S=πD24S = \frac{\pi D^2}{4}

Площадь круга, выраженная через его диаметр.

DS
Та же площадь круга, но выраженная через диаметр.
Обозначения:
  • D — Диаметр (D)

Свойство отрезков касательных из одной точки

8 класс
AB=ACAB = AC

Отрезки двух касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны между собой.

ABC
Два отрезка касательных из точки A равны между собой.
Обозначения:
  • AB — Отрезок касательной AB

Уравнение окружности с центром в начале координат

9 класс
r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2

Радиус окружности с центром в начале координат, проходящей через точку (x, y).

r(x, y)
Центр окружности совпадает с началом координат.
Обозначения:
  • x — Координата x
  • y — Координата y

Произведение отрезков двух секущих

9 класс
AQ⋅BQ=CQ⋅DQAQ \cdot BQ = CQ \cdot DQ

Если из точки вне окружности проведены две секущие, произведения отрезков каждой из них равны.

QABCD
Произведения отрезков обеих секущих из точки Q равны.
Обозначения:
  • AQ — Отрезок AQ
  • BQ — Отрезок BQ
  • CQ — Отрезок CQ

Секущая и касательная из одной точки

9 класс
AQ⋅BQ=CQ2AQ \cdot BQ = CQ^2

Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведённых из одной точки.

QABC
QC — касательная, QA и QB — отрезки секущей.
Обозначения:
  • AQ — Отрезок AQ
  • BQ — Отрезок BQ

Длина хорды через центральный угол

9 класс
AB=2rsin⁡α2AB = 2r \sin \frac{\alpha}{2}

Длина хорды окружности через радиус и центральный угол.

αAB
α — центральный угол, опирающийся на хорду AB.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • alpha — Угол α (в градусах)

Длина хорды через вписанный угол

9 класс
AB=2rsin⁡αAB = 2r \sin \alpha

Длина хорды окружности через радиус и вписанный угол.

αAB
α — вписанный угол, опирающийся на хорду AB.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • alpha — Угол α (в градусах)

Длина дуги окружности

9 класс
l=πrα180∘l = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}

Вычисляет длину дуги окружности с центральным углом α.

αL
L — длина выделенной дуги, α — её центральный угол.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • alpha — Угол α (в градусах)

Площадь кругового сектора

9 класс
S=πr2α360∘S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ}

Площадь сектора круга с центральным углом α.

αS
Сектор — часть круга между двумя радиусами.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • alpha — Угол α (в градусах)

Площадь сегмента круга

9 класс
S=R22(θ−sin⁡θ)S = \frac{R^2}{2} (\theta - \sin \theta)

Площадь сегмента круга (часть круга, отсекаемая хордой), угол θ задаётся в радианах.

Sθ
S — сегмент, отсекаемый хордой, θ — центральный угол.
Обозначения:
  • R — Радиус (R)
  • theta — Угол θ (в радианах)

Площадь кольца

9 класс
S=π(R2−r2)S = \pi (R^2 - r^2)

Площадь кольца между двумя концентрическими окружностями с радиусами R и r.

Rr
Кольцо — область между окружностями радиусов R и r.
Обозначения:
  • R — Внешний радиус (R)
  • r — Внутренний радиус (r)

Прогрессии

n-й член арифметической прогрессии

9 класс
an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1)d

Позволяет найти любой член арифметической прогрессии.

Обозначения:
  • a1 — Первый член (a1)
  • n — Номер элемента (n)
  • d — Разность (d)

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

9 класс
Sn=a1+an2⋅nS_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

Вычисляет сумму с 1-го по n-й члены арифметической прогрессии.

Обозначения:
  • a1 — Первый член (a1)
  • an — n-й член (an)
  • n — Количество элементов (n)

n-й член геометрической прогрессии

9 класс
bn=b1⋅qn−1b_n = b_1 \cdot q^{n-1}

Позволяет найти любой член геометрической прогрессии.

Обозначения:
  • b1 — Первый член (b1)
  • q — Знаменатель (q)
  • n — Номер элемента (n)

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

9 класс
Sn=b1(qn−1)q−1(q≠1)S_n = \frac{b_1 (q^n - 1)}{q - 1} \quad (q \neq 1)

Вычисляет сумму первых n членов геометрической прогрессии при q ≠ 1.

Обозначения:
  • b1 — Первый член (b1)
  • q — Знаменатель q (q≠1)
  • n — Количество (n)

Сумма n членов арифметической прогрессии (через первый член и разность)

9 класс
Sn=2a1+(n−1)d2⋅nS_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n

Вычисляет сумму первых n членов арифметической прогрессии через первый член и разность.

Обозначения:
  • a1 — Первый член (a1)
  • n — Количество (n)
  • d — Разность (d)

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

9 класс
bn2=bn+1⋅bn−1b_n^2 = b_{n+1} \cdot b_{n-1}

Квадрат члена геометрической прогрессии равен произведению соседних с ним членов.

Обозначения:
  • bnext — Следующий член (b_{n+1})
  • bprev — Предыдущий член (b_{n-1})

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

9 класс
an=an−1+an+12a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому соседних членов.

Обозначения:
  • aprev — Предыдущий член (a_{n-1})
  • anext — Следующий член (a_{n+1})

Разность арифметической прогрессии (через два произвольных члена)

9 класс
d=an+1−an=an−akn−kd = a_{n+1} - a_n = \frac{a_n - a_k}{n - k}

Разность арифметической прогрессии через любые два её члена и их номера.

a_ka_na_{n+1}d
d — шаг между соседними членами, одинаковый для всей прогрессии.
Обозначения:
  • an — Член a_n
  • ak — Член a_k
  • n — Номер n
  • k — Номер k

n-й член арифметической прогрессии (через произвольный k-й член)

9 класс
an=ak+(n−k)da_n = a_k + (n - k)d

Любой член арифметической прогрессии можно найти не только через первый, но и через любой другой известный член.

a_ka_n(n − k) шагов по d
От k-го до n-го члена проходит (n − k) одинаковых шагов d.
Обозначения:
  • ak — Член a_k
  • n — Номер n
  • k — Номер k
  • d — Разность (d)

n-й член геометрической прогрессии (через произвольный k-й член)

9 класс
bn=bk⋅qn−kb_n = b_k \cdot q^{n-k}

Любой член геометрической прогрессии можно найти не только через первый, но и через любой другой известный член.

b_kb_nумножение на q, (n − k) раз
От k-го до n-го члена умножаем на q ровно (n − k) раз.
Обозначения:
  • bk — Член b_k
  • n — Номер n
  • k — Номер k
  • q — Знаменатель q

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

10 класс
S=b11−q, ∣q∣<1S = \frac{b_1}{1-q},\ |q|<1

Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1).

Обозначения:
  • b1 — Первый член (b1)
  • q — Знаменатель (q)

Комбинаторика

Число комбинаций (перестановки)

9 класс
Pn=n!P_n = n!

Количество способов переставить n элементов (факториал n!).

Обозначения:
  • n — Количество элементов n (целое ≥ 0)

Число сочетаний C(n,k)

9 класс
Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Количество способов выбрать k элементов из n без учёта порядка.

Обозначения:
  • n — Количество элементов (n)
  • k — Количество выбираемых (k)

Число размещений A(n,k)

9 класс
Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

Количество способов выбрать и упорядочить k элементов из n.

Обозначения:
  • n — Количество элементов (n)
  • k — Количество выбираемых (k)

Классическая вероятность события

9 класс
P(A)=mnP(A) = \frac{m}{n}

Вероятность события как отношение благоприятных исходов к общему числу исходов.

Обозначения:
  • m — Благоприятные исходы (m)
  • n — Всего исходов (n)

Вероятность противоположного события

9 класс
P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar A) = 1 - P(A)

Вероятность того, что событие A не произойдёт.

Обозначения:
  • p — Вероятность события P(A)

Принцип включений и исключений (для двух множеств)

9 класс
∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

Определяет количество элементов в объединении двух конечных множеств.

Обозначения:
  • A — Мощность множества |A|
  • B — Мощность множества |B|
  • AB — Мощность |A∩B|

Принцип включений и исключений (для трёх множеств)

9 класс
∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣|A \cup B \cup C| = |A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|

Определяет количество элементов в объединении трёх конечных множеств.

Обозначения:
  • A — Мощность множества |A|
  • B — Мощность множества |B|
  • C — Мощность множества |C|
  • AB — Мощность |A∩B|
  • AC — Мощность |A∩C|
  • BC — Мощность |B∩C|
  • ABC — Мощность |A∩B∩C|

Вероятность независимых событий

11 класс
P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Вероятность одновременного наступления двух независимых событий.

Обозначения:
  • pa — Вероятность события P(A)
  • pb — Вероятность события P(B)

Формула Бернулли

11 класс
Pn(k)=Cnk⋅pk⋅(1−p)n−kP_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

Вероятность ровно k успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p.

Обозначения:
  • n — Количество элементов (n)
  • k — Количество выбираемых (k)
  • p — Вероятность успеха (p)

Степени и Логарифмы

Нахождение 1% от числа

5 класс
A100\frac{A}{100}

Сотая часть от заданного числа A.

Обозначения:
  • A — Число A

Нахождение p% от числа A

5 класс
B=A⋅p100B = A \cdot \frac{p}{100}

Значение указанного процента p от числа A.

Обозначения:
  • A — Число A
  • p — Процент p

Нахождение числа по его проценту

5 класс
A=B⋅100pA = B \cdot \frac{100}{p}

Число A, если известно, что B составляет p% от него.

Обозначения:
  • B — Известная часть (B)
  • p — Процент p

Умножение степеней

7 класс
am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.

Обозначения:
  • a — Основание a
  • m — Показатель m
  • n — Показатель n

Деление степеней

7 класс
am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n}

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются.

Обозначения:
  • a — Основание a
  • m — Показатель m
  • n — Показатель n

Возведение степени в степень

7 класс
(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Обозначения:
  • a — Основание a
  • m — Показатель m
  • n — Показатель n

Степень произведения

7 класс
(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

Каждый множитель возводится в данную степень.

Обозначения:
  • a — Множитель a
  • b — Множитель b
  • n — Степень n

Степень с нулевым показателем

7 класс
a0=1(a≠0)a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.

Обозначения:
  • a — Основание a (a≠0)

Свойства квадратного корня (умножение)

8 класс
a⋅b=a⋅b(a,b≥0)\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (a, b \ge 0)

Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению их корней.

Обозначения:
  • a — Число a (a≥0)
  • b — Число b (b≥0)

Свойства квадратного корня (деление)

8 класс
ab=ab(a≥0,b>0)\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \ge 0, b > 0)

Корень из частного равен отношению корней числителя и знаменателя.

Обозначения:
  • a — Число a (a≥0)
  • b — Число b (b>0)

Квадрат корня

8 класс
(a)2=a(a≥0)(\sqrt{a})^2 = a \quad (a \ge 0)

Возведение арифметического квадратного корня в квадрат.

Обозначения:
  • a — Число a (a≥0)

Корень из квадрата

8 класс
a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|

Извлечение квадратного корня из квадрата числа равен модулю этого числа.

Обозначения:
  • a — Число a

Степень с отрицательным показателем

8 класс
a−n=1an(a≠0)a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)

Замена отрицательного показателя степени на обратную величину.

Обозначения:
  • a — Основание a (a≠0)
  • n — Показатель n

Степень с рациональным показателем

10 класс
amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

Представление степени с дробным показателем в виде корня.

Обозначения:
  • a — Основание a
  • m — Показатель m
  • n — Корень n (n≠0)

Определение логарифма

10 класс
log⁡ab=c  ⟺  ac=b(a>0,a≠1,b>0)\log_a b = c \iff a^c = b \quad (a>0, a \neq 1, b>0)

Находит степень c, в которую возводится основание a для получения b.

Обозначения:
  • a — Основание a (a>0, a≠1)
  • b — Аргумент b (b>0)

Основное логарифмическое тождество

10 класс
alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b

Возведение основания a в степень log_a(b) даёт аргумент b.

Обозначения:
  • b — Число b (b>0)

Свойства логарифмов (сумма)

10 класс
log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x⋅y)\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)

Сумма логарифмов равна логарифму произведения аргументов.

Обозначения:
  • a — Основание a
  • x — Аргумент x
  • y — Аргумент y

Свойства логарифмов (разность)

10 класс
log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)

Разность логарифмов равна логарифму частного аргументов.

Обозначения:
  • a — Основание a
  • x — Аргумент x
  • y — Аргумент y

Вынос степени из логарифма

10 класс
log⁡a(xk)=k⋅log⁡ax\log_a (x^k) = k \cdot \log_a x

Степень k выносится в виде множителя перед логарифмом.

Обозначения:
  • a — Основание a
  • x — Аргумент x
  • k — Степень k

Формула перехода к новому основанию

10 класс
log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Переход от логарифма по основанию a к основанию c.

Обозначения:
  • a — Старое основание a
  • b — Аргумент b
  • c — Новое основание c

Логарифм единицы

10 класс
log⁡a1=0\log_a 1 = 0

Логарифм единицы по любому основанию всегда равен нулю.

Обозначения:
  • a — Основание a (a>0, a≠1)

Логарифм числа, равного основанию

10 класс
log⁡aa=1\log_a a = 1

Логарифм числа по равному ему основанию всегда равен единице.

Обозначения:
  • a — Основание a (a>0, a≠1)

Логарифм по степени основания

11 класс
log⁡anx=1nlog⁡ax\log_{a^n} x = \frac{1}{n}\log_a x

Позволяет вынести показатель степени основания из-под логарифма (при n ≠ 0).

Обозначения:
  • n — Показатель n
  • a — Основание a (a>0, a≠1)
  • x — Аргумент x

Взаимно обратные основания логарифма

11 класс
log⁡ax=1log⁡xa\log_a x = \frac{1}{\log_x a}

Связывает логарифм с основанием a и логарифм с обратным основанием x.

Обозначения:
  • a — Основание a (a>0, a≠1)
  • x — Аргумент x

Тригонометрия

Синус острого угла (Sin)

8 класс
sin⁡α=ac\sin \alpha = \frac{a}{c}

Отношение противолежащего катета к гипотенузе.

αac
a — противолежащий катет, c — гипотенуза.
Обозначения:
  • opp — Противолежащий катет
  • hyp — Гипотенуза

Косинус острого угла (Cos)

8 класс
cos⁡α=bc\cos \alpha = \frac{b}{c}

Отношение прилежащего катета к гипотенузе.

αbc
b — прилежащий катет, c — гипотенуза.
Обозначения:
  • adj — Прилежащий катет
  • hyp — Гипотенуза

Тангенс острого угла (Tg)

8 класс
tg⁡α=ab\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}

Отношение противолежащего катета к прилежащему.

αab
a — противолежащий катет, b — прилежащий.
Обозначения:
  • opp — Противолежащий катет
  • adj — Прилежащий катет

Основное тригонометрическое тождество

9 класс
sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Вычисляет модуль sin α по известному cos α.

sin αcos α1
Следует из теоремы Пифагора в единичной окружности.
Обозначения:
  • cos — Косинус (cos α)

Связь тангенса с синусом и косинусом

9 класс
tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Вычисление tg α через отношение sin α к cos α.

αsin αcos α
Тангенс — отношение синуса к косинусу того же угла.
Обозначения:
  • sin — Синус (sin α)
  • cos — Косинус (cos α)

Котангенс острого угла

9 класс
ctg⁡ α=ba\operatorname{ctg}\,\alpha = \frac{b}{a}

Отношение прилежащего катета к противолежащему.

αab
Котангенс — прилежащий катет, делённый на противолежащий.
Обозначения:
  • adj — Прилежащий катет
  • opp — Противолежащий катет

Таблица значений синуса

9 класс

Значения sin α для основных углов от 0° до 360°.

α0°30°45°60°90°120°180°270°360°
sin α01/2√2/2√3/21√3/20-10

Таблица значений косинуса

9 класс

Значения cos α для основных углов от 0° до 360°.

α0°30°45°60°90°120°180°270°360°
cos α1√3/2√2/21/20-1/2-101

Таблица значений тангенса

9 класс

Значения tg α для основных углов от 0° до 360°.

α0°30°45°60°90°120°180°270°360°
tg α01/√31√3—-√30—0

Таблица значений котангенса

9 класс

Значения ctg α для основных углов от 0° до 360°.

α0°30°45°60°90°120°180°270°360°
ctg α—√311/√30-1/√3—0—

Таблица углов в радианах

9 класс

Соответствие основных углов в градусах и радианах.

α0°30°45°60°90°120°180°270°360°
α (рад)0π/6π/4π/3π/22π/3π3π/22π

Синус суммы и разности

10 класс
sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta

Вычисляет sin(α + β) и sin(α - β).

Обозначения:
  • degA — Угол α (град)
  • degB — Угол β (град)

Косинус суммы и разности

10 класс
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta

Вычисляет cos(α + β) и cos(α - β).

Обозначения:
  • degA — Угол α (град)
  • degB — Угол β (град)

Синус двойного угла

10 класс
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha

Формула для раскрытия синуса двойного угла.

Обозначения:
  • deg — Угол α (в градусах)

Косинус двойного угла

10 класс
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha

Формула для раскрытия косинуса двойного угла.

Обозначения:
  • deg — Угол α (в градусах)

Тангенс двойного угла

10 класс
tg⁡2α=2tg⁡α1−tg⁡2α\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}

Формула для тангенса двойного угла.

Обозначения:
  • deg — Угол α (в градусах)

Перевод градусов в радианы

10 класс
rad=α⋅π180\mathrm{rad} = \alpha \cdot \frac{\pi}{180}

Переводит угол из градусной меры в радианную.

α°рад
180° соответствует π радианам.
Обозначения:
  • alpha — Угол α (град)

Перевод радианов в градусы

10 класс
α=rad⋅180π\alpha = \mathrm{rad} \cdot \frac{180}{\pi}

Переводит угол из радианной меры в градусную.

рад°
Обратный перевод: из радиан в градусы.
Обозначения:
  • rad — Угол в радианах (rad)

Производные и Интегралы

Производная константы

10 класс
(c)′=0(c)' = 0

Производная постоянной величины всегда равна нулю.

Обозначения:
  • c — Число c

Производная степенной функции

11 класс
(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

Значение производной функции x^n в заданной точке x.

Обозначения:
  • x — Значение x
  • n — Степень n

Производная тригонометрических функций

11 класс
(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x

Вычисляет значения производных (sin x)' и (cos x)' в точке x.

Обозначения:
  • deg — Угол x (в градусах)

Производная показательной функции

11 класс
(ax)′=axln⁡a,(ex)′=ex(a^x)' = a^x \ln a, \quad (e^x)' = e^x

Значение производной функции a^x в точке x.

Обозначения:
  • a — Основание a (a>0)
  • x — Показатель x

Производная произведения

11 класс
(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'

Формула дифференцирования произведения двух функций u и v.

Обозначения:
  • u — Первая функция
  • u' — Производная первой функции
  • v — Вторая функция
  • v' — Производная второй функции

Производная частного

11 класс
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Формула дифференцирования частного двух функций u и v.

Обозначения:
  • u — Первая функция
  • u' — Производная первой функции
  • v — Вторая функция
  • v' — Производная второй функции

Формула Ньютона — Лейбница (Интеграл)

11 класс
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)

Вычисляет определённый интеграл через значения первообразной.

Обозначения:
  • F(b) — Значение первообразной в точке b
  • F(a) — Значение первообразной в точке a

Производная сложной функции

11 класс
(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Обозначения:
  • fu — Значение f'(u)
  • gx — Значение g'(x)

Производная суммы функций

11 класс
(u+v)′=u′+v′(u+v)' = u' + v'

Производная суммы функций равна сумме их производных.

Обозначения:
  • up — Производная u'
  • vp — Производная v'

Уравнение касательной к графику функции

11 класс
y=f(a)+f′(a)(x−a)y = f(a) + f'(a)(x-a)

Значение касательной к графику функции в точке x.

Обозначения:
  • fa — Значение функции f(a)
  • fpa — Значение производной f'(a)
  • a0 — Координата x0
  • x — Аргумент x

Первообразная степенной функции

11 класс
F(x)=xn+1n+1F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}

Первообразная (антипроизводная) степенной функции xⁿ при n ≠ −1.

Обозначения:
  • x — Значение x
  • n — Показатель n

Производная функции x

11 класс
x′=1x' = 1

Производная переменной x по самой себе всегда равна единице.

Обозначения:
  • x — Значение x

Производная функции 1/x

11 класс
(1x)′=−1x2\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}

Производная функции, обратной пропорциональной x, в точке x.

Обозначения:
  • x — Значение x

Производная квадратного корня

11 класс
(x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Производная функции квадратного корня в точке x (x > 0).

Обозначения:
  • x — Значение x

Производная тангенса

11 класс
(tg⁡x)′=1cos⁡2x(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

Производная тангенса в точке x.

Обозначения:
  • deg — Угол x (в градусах)

Производная котангенса

11 класс
(ctg⁡x)′=−1sin⁡2x(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}

Производная котангенса в точке x.

Обозначения:
  • deg — Угол x (в градусах)

Производная логарифма по основанию a

11 класс
(log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

Производная логарифмической функции с произвольным основанием a.

Обозначения:
  • x — Значение x
  • a — Основание a (a>0, a≠1)

Производная натурального логарифма

11 класс
(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}

Производная натурального логарифма в точке x.

Обозначения:
  • x — Значение x

Первообразная константы

11 класс
F(x)=kx+CF(x) = kx + C

Первообразная постоянной величины k.

Обозначения:
  • k — Коэффициент k
  • x — Значение x

Первообразная функции 1/x

11 класс
F(x)=ln⁡∣x∣+CF(x) = \ln|x| + C

Первообразная функции, обратной пропорциональной x.

Обозначения:
  • x — Значение x

Первообразная функции 1/√x

11 класс
F(x)=2x+CF(x) = 2\sqrt{x} + C

Первообразная функции, обратной квадратному корню из x.

Обозначения:
  • x — Значение x

Первообразная синуса

11 класс
F(x)=−cos⁡x+CF(x) = -\cos x + C

Первообразная функции синуса.

Обозначения:
  • deg — Угол x (в градусах)

Первообразная косинуса

11 класс
F(x)=sin⁡x+CF(x) = \sin x + C

Первообразная функции косинуса.

Обозначения:
  • deg — Угол x (в градусах)

Первообразная функции 1/cos²x

11 класс
F(x)=tg⁡x+CF(x) = \operatorname{tg} x + C

Первообразная функции, обратной квадрату косинуса.

Обозначения:
  • deg — Угол x (в градусах)

Первообразная функции 1/sin²x

11 класс
F(x)=−ctg⁡x+CF(x) = -\operatorname{ctg} x + C

Первообразная функции, обратной квадрату синуса.

Обозначения:
  • deg — Угол x (в градусах)

Первообразная показательной функции

11 класс
F(x)=axln⁡a+CF(x) = \frac{a^x}{\ln a} + C

Первообразная показательной функции с произвольным основанием a.

Обозначения:
  • a — Основание a (a>0, a≠1)
  • x — Значение x

Первообразная функции eˣ

11 класс
F(x)=ex+CF(x) = e^x + C

Первообразная экспоненциальной функции eˣ.

Обозначения:
  • x — Значение x

Векторы

Расстояние между двумя точками

8 класс
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

Длина отрезка между двумя точками на координатной плоскости.

ABd
d — расстояние между точками A и B на плоскости.
Обозначения:
  • x1 — Координата x первой точки
  • y1 — Координата y первой точки
  • x2 — Координата x второй точки
  • y2 — Координата y второй точки

Середина отрезка (координаты)

8 класс
M(x1+x22, y1+y22)M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)

Координаты точки, делящей отрезок пополам.

ABM
M — середина отрезка AB.
Обозначения:
  • x1 — Координата x первой точки
  • y1 — Координата y первой точки
  • x2 — Координата x второй точки
  • y2 — Координата y второй точки

Скалярное произведение векторов

9 класс
a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2

Скалярное произведение двух векторов на плоскости по координатам.

ab
Скалярное произведение считается по координатам векторов.
Обозначения:
  • x1 — Координата x первого вектора
  • y1 — Координата y первого вектора
  • x2 — Координата x второго вектора
  • y2 — Координата y второго вектора

Длина вектора по координатам

9 класс
∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}

Длина (модуль) вектора на плоскости.

xy
Длина вектора — по теореме Пифагора от его координат.
Обозначения:
  • x — Координата x
  • y — Координата y

Сумма векторов по координатам

9 класс
a⃗+b⃗=(ax+bx, ay+by)\vec{a}+\vec{b} = (a_x+b_x,\ a_y+b_y)

Сложение векторов покоординатно.

aba+b
Векторы складываются «по правилу треугольника».
Обозначения:
  • a_x — Координата x вектора a
  • a_y — Координата y вектора a
  • b_x — Координата x вектора b
  • b_y — Координата y вектора b

Косинус угла между векторами (2D)

9 класс
cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}

Косинус угла между двумя векторами на плоскости через их координаты.

α
Косинус угла между векторами на плоскости.
Обозначения:
  • a_x — Координата x вектора a
  • a_y — Координата y вектора a
  • b_x — Координата x вектора b
  • b_y — Координата y вектора b

Угловой коэффициент прямой по двум точкам

9 класс
k=y2−y1x2−x1k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки.

ΔxΔy
k — отношение изменения y к изменению x.
Обозначения:
  • x1 — Координата x первой точки
  • y1 — Координата y первой точки
  • x2 — Координата x второй точки
  • y2 — Координата y второй точки

Расстояние от точки до прямой

9 класс
d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Кратчайшее расстояние от точки до прямой, заданной уравнением Ax+By+C=0.

Md
d — кратчайшее расстояние (по перпендикуляру) от точки до прямой.
Обозначения:
  • A — Коэффициент a
  • B — Коэффициент b
  • C — Коэффициент c
  • x0 — Координата x0
  • y0 — Координата y0

Радиус окружности по уравнению

9 класс
r=(x−a)2+(y−b)2r = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}

Радиус окружности с центром (a,b), проходящей через точку (x,y).

r(a, b)(x, y)
Центр окружности в точке (a, b), точка (x, y) на ней.
Обозначения:
  • x0 — Координата x0
  • y0 — Координата y0
  • x — Координата x
  • y — Координата y

Разность векторов по координатам

9 класс
a⃗−b⃗=(ax−bx, ay−by)\vec a-\vec b = (a_x-b_x,\ a_y-b_y)

Вычитание векторов покоординатно.

aba−b
Разность векторов направлена от конца b к концу a.
Обозначения:
  • ax — a_x
  • ay — a_y
  • bx — b_x
  • by — b_y

Скалярное произведение векторов (через модули и угол)

9 класс
A⃗⋅B⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡α\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos\alpha

Скалярное произведение векторов через их длины и угол между ними.

αab
α — угол между векторами a и b.
Обозначения:
  • a — Модуль вектора a (|a|)
  • b — Модуль вектора b (|b|)
  • alpha — Угол α (град)

Угол между векторами в пространстве

11 класс
cos⁡θ=x1x2+y1y2+z1z2∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos \theta = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Косинус угла между двумя трёхмерными векторами по их координатам.

α
Угол между векторами в трёхмерном пространстве.
Обозначения:
  • a_x — Координата x первого вектора
  • a_y — Координата y первого вектора
  • a_z — Координата z первого вектора
  • b_x — Координата x второго вектора
  • b_y — Координата y второго вектора
  • b_z — Координата z второго вектора

Длина вектора в пространстве

11 класс
∣a⃗∣=x2+y2+z2|\vec a| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}

Длина (модуль) вектора в трёхмерном пространстве по его координатам.

xyz
В пространстве добавляется третья координата z.
Обозначения:
  • x — a_x
  • y — a_y
  • z — a_z

Расстояние между двумя точками в пространстве

11 класс
AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}

Длина отрезка между двумя точками в трёхмерном пространстве.

ABd
Расстояние между точками в трёхмерном пространстве.
Обозначения:
  • x1 — Координата x первой точки
  • y1 — Координата y первой точки
  • z1 — Координата z первой точки
  • x2 — Координата x второй точки
  • y2 — Координата y второй точки
  • z2 — Координата z второй точки

Стереометрия

Объём параллелепипеда

5 класс
V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c

Произведение трёх измерений: длины, ширины и высоты.

acb
a, b, c — три измерения параллелепипеда.
Обозначения:
  • a — Длина (a)
  • b — Ширина (b)
  • c — Высота (c)

Площадь поверхности параллелепипеда

5 класс
S=2⋅(ab+bc+ac)S = 2 \cdot (ab + bc + ac)

Сумма площадей всех шести граней параллелепипеда.

acb
Складываются площади всех шести граней.
Обозначения:
  • a — Ребро a
  • b — Ребро b
  • c — Ребро c

Сумма длин рёбер параллелепипеда

5 класс
L=4⋅(a+b+c)L = 4 \cdot (a + b + c)

Сумма длин всех 12 рёбер прямоугольного параллелепипеда.

acb
У параллелепипеда по 4 ребра каждого измерения.
Обозначения:
  • a — Ребро a
  • b — Ребро b
  • c — Ребро c

Объём куба

5 класс
V=a3V = a^3

Куб длины ребра куба.

aaa
У куба все рёбра равны.
Обозначения:
  • a — Ребро a

Площадь поверхности куба

5 класс
S=6⋅a2S = 6 \cdot a^2

Сумма площадей шести равных квадратных граней.

aaa
Куб имеет 6 одинаковых квадратных граней.
Обозначения:
  • a — Ребро a

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

5 класс
S=2c(a+b)S = 2c(a+b)

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда через три его измерения.

acb
Боковая поверхность — четыре вертикальные грани.
Обозначения:
  • a — Ребро a
  • b — Ребро b
  • c — Ребро c

Сумма длин рёбер куба

5 класс
L=12aL = 12a

Сумма длин всех 12 рёбер куба.

a
Все 12 рёбер куба одинаковой длины a — выделены зелёным.
Обозначения:
  • a — Ребро a

Объём призмы

10 класс
V=S⋅hV = S \cdot h

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

hS
S — площадь основания, h — высота призмы.
Обозначения:
  • S — Площадь основания (S)
  • h — Высота (h)

Объём пирамиды

10 класс
V=13S⋅hV = \frac{1}{3} S \cdot h

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту.

hS
S — площадь основания, h — высота пирамиды.
Обозначения:
  • S — Площадь основания (S)
  • h — Высота (h)

Площадь боковой поверхности призмы

10 класс
Sb=P⋅hS_b = P \cdot h

Площадь боковой поверхности прямой призмы через периметр основания и высоту.

hS
Боковая поверхность — все боковые грани призмы.
Обозначения:
  • P — Периметр (P)
  • h — Высота (h)

Объём цилиндра

11 класс
V=πr2hV = \pi r^2 h

Объём цилиндра с радиусом основания r и высотой h.

rh
r — радиус основания, h — высота цилиндра.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • h — Высота (h)

Площадь боковой поверхности цилиндра

11 класс
S=2πrhS = 2 \pi r h

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра.

rh
Боковая поверхность — развёртка в прямоугольник.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • h — Высота (h)

Объём конуса

11 класс
V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h

Объём прямого кругового конуса.

rh
r — радиус основания, h — высота конуса.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • h — Высота (h)

Площадь боковой поверхности конуса

11 класс
S=πrlS = \pi r l

Площадь боковой поверхности конуса через радиус r и образующую l.

rl
l — образующая конуса, r — радиус основания.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • l — Образующая (l)

Объём шара

11 класс
V=43πR3V = \frac{4}{3} \pi R^3

Объём шара радиуса R.

R
R — радиус шара от центра до поверхности.
Обозначения:
  • r — Радиус (R)

Площадь сферы (поверхности шара)

11 класс
S=4πR2S = 4 \pi R^2

Площадь сферы радиуса R.

R
Площадь всей внешней поверхности шара.
Обозначения:
  • r — Радиус (R)

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

11 класс
d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}

Диагональ прямоугольного параллелепипеда через три его измерения.

dacb
d — диагональ, соединяющая противоположные вершины.
Обозначения:
  • a — Ребро a
  • b — Ребро b
  • c — Ребро c

Диагональ куба

11 класс
d=a3d = a\sqrt{3}

Диагональ куба через длину его ребра.

daaa
Диагональ куба проходит через его центр.
Обозначения:
  • a — Ребро a

Полная поверхность правильной призмы

11 класс
S=2S0+P0⋅hS = 2S_0 + P_0 \cdot h

Сумма площадей двух оснований и боковой поверхности прямой призмы.

hS
Полная поверхность — боковая плюс два основания.
Обозначения:
  • Sb — Площадь основания (S)
  • Pb — Периметр (P)
  • h — Высота (h)

Полная поверхность цилиндра

11 класс
S=2πr(r+h)S = 2\pi r(r+h)

Сумма площадей боковой поверхности и двух оснований цилиндра.

rh
Полная поверхность — боковая плюс два круга.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • h — Высота (h)

Площадь осевого сечения цилиндра

11 класс
S=2rhS = 2rh

Площадь прямоугольника — осевого сечения цилиндра, проходящего через его ось.

drh
Осевое сечение — прямоугольник через ось цилиндра.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • h — Высота (h)

Диагональ осевого сечения цилиндра

11 класс
D=(2r)2+h2D = \sqrt{(2r)^2+h^2}

Диагональ прямоугольника осевого сечения цилиндра (по теореме Пифагора).

drh
d — диагональ осевого сечения цилиндра.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • h — Высота (h)

Площадь сферы через диаметр

11 класс
S=πd2S = \pi d^2

Площадь поверхности сферы, выраженная через её диаметр.

Обозначения:
  • d — Диаметр (d)

Площадь сферического сегмента

11 класс
S=2πRhS = 2\pi R h

Площадь части поверхности сферы, отсечённой плоскостью, высотой h.

Обозначения:
  • R — Радиус (R)
  • h — Высота сегмента (h)

Объём шарового сегмента

11 класс
V=πh2(R−h3)V = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right)

Объём части шара, отсечённой плоскостью, где h — высота сегмента.

Обозначения:
  • R — Радиус (R)
  • h — Высота сегмента (h)

Объём шарового сектора

11 класс
V=23πR2hV = \frac{2}{3}\pi R^2 h

Объём тела, состоящего из шарового сегмента и конуса, где h — высота соответствующего сегмента.

Обозначения:
  • R — Радиус (R)
  • h — Высота сегмента (h)

Площадь боковой поверхности пирамиды

11 класс
Slat=12P⋅lS_{lat} = \frac{1}{2} P \cdot l

Боковая поверхность правильной пирамиды через периметр основания и апофему.

lP
l — апофема (высота боковой грани), P — периметр основания.
Обозначения:
  • P — Периметр основания (P)
  • l — Апофема (l)

Полная поверхность пирамиды

11 класс
Sfull=Slat+SbaseS_{full} = S_{lat} + S_{base}

Полная поверхность пирамиды — сумма боковой поверхности и площади основания.

SбокSосн
Полная поверхность — боковая поверхность плюс основание.
Обозначения:
  • Sbok — Боковая поверхность
  • Sosn — Площадь основания

Полная поверхность конуса

11 класс
S=πrl+πr2=πr(l+r)S = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r)

Полная поверхность конуса — боковая поверхность плюс площадь основания.

rl
Полная поверхность — боковая поверхность плюс основание-круг.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • l — Образующая (l)

Площадь боковой поверхности усечённого конуса

11 класс
Slat=π(R1+R2)lS_{lat} = \pi (R_1 + R_2) l

Боковая поверхность усечённого конуса через радиусы оснований и образующую.

R₁R₂l
R₁ и R₂ — радиусы двух оснований, l — образующая.
Обозначения:
  • R1 — Радиус R1
  • R2 — Радиус R2
  • l — Образующая (l)

Полная поверхность усечённого конуса

11 класс
Sfull=π(R1+R2)l+πR12+πR22S_{full} = \pi (R_1 + R_2) l + \pi R_1^2 + \pi R_2^2

Полная поверхность усечённого конуса — боковая поверхность плюс площади двух оснований.

R₁R₂l
Полная поверхность — боковая поверхность плюс два основания.
Обозначения:
  • R1 — Радиус R1
  • R2 — Радиус R2
  • l — Образующая (l)

Сумма длин рёбер правильной n-угольной пирамиды

11 класс
L=n(a+b)L = n(a + b)

Сумма длин всех рёбер правильной пирамиды: n сторон основания плюс n боковых рёбер.

ab
a — сторона основания, b — боковое ребро (n раз каждое).
Обозначения:
  • n — Количество сторон основания (n)
  • a — Сторона основания (a)
  • b — Боковое ребро (b)

Сумма длин рёбер правильной n-угольной призмы

11 класс
L=n(2a+h)L = n(2a + h)

Сумма длин всех рёбер правильной призмы: рёбра двух оснований плюс боковые рёбра.

ah
a — сторона основания, h — высота (боковое ребро) призмы.
Обозначения:
  • n — Количество сторон основания (n)
  • a — Сторона основания (a)
  • h — Высота призмы (h)

Сумма длин рёбер правильного тетраэдра

11 класс
L=6aL = 6a

Сумма длин всех 6 рёбер правильного тетраэдра.

a
Тетраэдр — 4 треугольные грани, все 6 рёбер равны a.
Обозначения:
  • a — Ребро a

Сумма длин рёбер правильного октаэдра

11 класс
L=12aL = 12a

Сумма длин всех 12 рёбер правильного октаэдра.

a
Октаэдр — 8 треугольных граней, все 12 рёбер равны a.
Обозначения:
  • a — Ребро a