Формулы стереометрии

Объёмы и площади поверхностей куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара, а также диагонали, сечения и части шара — основные формулы стереометрии в одном месте.

35 формул · 5–11 классы

★ Избранное
Все формулы на странице (35)
  1. Объём параллелепипеда
  2. Площадь поверхности параллелепипеда
  3. Сумма длин рёбер параллелепипеда
  4. Объём куба
  5. Площадь поверхности куба
  6. Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
  7. Сумма длин рёбер куба
  8. Объём призмы
  9. Объём пирамиды
  10. Площадь боковой поверхности призмы
  11. Объём цилиндра
  12. Площадь боковой поверхности цилиндра
  13. Объём конуса
  14. Площадь боковой поверхности конуса
  15. Объём шара
  16. Площадь сферы (поверхности шара)
  17. Диагональ прямоугольного параллелепипеда
  18. Диагональ куба
  19. Полная поверхность правильной призмы
  20. Полная поверхность цилиндра
  21. Площадь осевого сечения цилиндра
  22. Диагональ осевого сечения цилиндра
  23. Площадь сферы через диаметр
  24. Площадь сферического сегмента
  25. Объём шарового сегмента
  26. Объём шарового сектора
  27. Площадь боковой поверхности пирамиды
  28. Полная поверхность пирамиды
  29. Полная поверхность конуса
  30. Площадь боковой поверхности усечённого конуса
  31. Полная поверхность усечённого конуса
  32. Сумма длин рёбер правильной n-угольной пирамиды
  33. Сумма длин рёбер правильной n-угольной призмы
  34. Сумма длин рёбер правильного тетраэдра
  35. Сумма длин рёбер правильного октаэдра

Объём параллелепипеда

5 класс
V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c

Произведение трёх измерений: длины, ширины и высоты.

acb
a, b, c — три измерения параллелепипеда.
Обозначения:
  • a — Длина (a)
  • b — Ширина (b)
  • c — Высота (c)

Площадь поверхности параллелепипеда

5 класс
S=2⋅(ab+bc+ac)S = 2 \cdot (ab + bc + ac)

Сумма площадей всех шести граней параллелепипеда.

acb
Складываются площади всех шести граней.
Обозначения:
  • a — Ребро a
  • b — Ребро b
  • c — Ребро c

Сумма длин рёбер параллелепипеда

5 класс
L=4⋅(a+b+c)L = 4 \cdot (a + b + c)

Сумма длин всех 12 рёбер прямоугольного параллелепипеда.

acb
У параллелепипеда по 4 ребра каждого измерения.
Обозначения:
  • a — Ребро a
  • b — Ребро b
  • c — Ребро c

Объём куба

5 класс
V=a3V = a^3

Куб длины ребра куба.

aaa
У куба все рёбра равны.
Обозначения:
  • a — Ребро a

Площадь поверхности куба

5 класс
S=6⋅a2S = 6 \cdot a^2

Сумма площадей шести равных квадратных граней.

aaa
Куб имеет 6 одинаковых квадратных граней.
Обозначения:
  • a — Ребро a

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

5 класс
S=2c(a+b)S = 2c(a+b)

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда через три его измерения.

acb
Боковая поверхность — четыре вертикальные грани.
Обозначения:
  • a — Ребро a
  • b — Ребро b
  • c — Ребро c

Сумма длин рёбер куба

5 класс
L=12aL = 12a

Сумма длин всех 12 рёбер куба.

a
Все 12 рёбер куба одинаковой длины a — выделены зелёным.
Обозначения:
  • a — Ребро a

Объём призмы

10 класс
V=S⋅hV = S \cdot h

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

hS
S — площадь основания, h — высота призмы.
Обозначения:
  • S — Площадь основания (S)
  • h — Высота (h)

Объём пирамиды

10 класс
V=13S⋅hV = \frac{1}{3} S \cdot h

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту.

hS
S — площадь основания, h — высота пирамиды.
Обозначения:
  • S — Площадь основания (S)
  • h — Высота (h)

Площадь боковой поверхности призмы

10 класс
Sb=P⋅hS_b = P \cdot h

Площадь боковой поверхности прямой призмы через периметр основания и высоту.

hS
Боковая поверхность — все боковые грани призмы.
Обозначения:
  • P — Периметр (P)
  • h — Высота (h)

Объём цилиндра

11 класс
V=πr2hV = \pi r^2 h

Объём цилиндра с радиусом основания r и высотой h.

rh
r — радиус основания, h — высота цилиндра.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • h — Высота (h)

Площадь боковой поверхности цилиндра

11 класс
S=2πrhS = 2 \pi r h

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра.

rh
Боковая поверхность — развёртка в прямоугольник.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • h — Высота (h)

Объём конуса

11 класс
V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h

Объём прямого кругового конуса.

rh
r — радиус основания, h — высота конуса.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • h — Высота (h)

Площадь боковой поверхности конуса

11 класс
S=πrlS = \pi r l

Площадь боковой поверхности конуса через радиус r и образующую l.

rl
l — образующая конуса, r — радиус основания.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • l — Образующая (l)

Объём шара

11 класс
V=43πR3V = \frac{4}{3} \pi R^3

Объём шара радиуса R.

R
R — радиус шара от центра до поверхности.
Обозначения:
  • r — Радиус (R)

Площадь сферы (поверхности шара)

11 класс
S=4πR2S = 4 \pi R^2

Площадь сферы радиуса R.

R
Площадь всей внешней поверхности шара.
Обозначения:
  • r — Радиус (R)

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

11 класс
d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}

Диагональ прямоугольного параллелепипеда через три его измерения.

dacb
d — диагональ, соединяющая противоположные вершины.
Обозначения:
  • a — Ребро a
  • b — Ребро b
  • c — Ребро c

Диагональ куба

11 класс
d=a3d = a\sqrt{3}

Диагональ куба через длину его ребра.

daaa
Диагональ куба проходит через его центр.
Обозначения:
  • a — Ребро a

Полная поверхность правильной призмы

11 класс
S=2S0+P0⋅hS = 2S_0 + P_0 \cdot h

Сумма площадей двух оснований и боковой поверхности прямой призмы.

hS
Полная поверхность — боковая плюс два основания.
Обозначения:
  • Sb — Площадь основания (S)
  • Pb — Периметр (P)
  • h — Высота (h)

Полная поверхность цилиндра

11 класс
S=2πr(r+h)S = 2\pi r(r+h)

Сумма площадей боковой поверхности и двух оснований цилиндра.

rh
Полная поверхность — боковая плюс два круга.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • h — Высота (h)

Площадь осевого сечения цилиндра

11 класс
S=2rhS = 2rh

Площадь прямоугольника — осевого сечения цилиндра, проходящего через его ось.

drh
Осевое сечение — прямоугольник через ось цилиндра.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • h — Высота (h)

Диагональ осевого сечения цилиндра

11 класс
D=(2r)2+h2D = \sqrt{(2r)^2+h^2}

Диагональ прямоугольника осевого сечения цилиндра (по теореме Пифагора).

drh
d — диагональ осевого сечения цилиндра.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • h — Высота (h)

Площадь сферы через диаметр

11 класс
S=πd2S = \pi d^2

Площадь поверхности сферы, выраженная через её диаметр.

Обозначения:
  • d — Диаметр (d)

Площадь сферического сегмента

11 класс
S=2πRhS = 2\pi R h

Площадь части поверхности сферы, отсечённой плоскостью, высотой h.

Обозначения:
  • R — Радиус (R)
  • h — Высота сегмента (h)

Объём шарового сегмента

11 класс
V=πh2(R−h3)V = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right)

Объём части шара, отсечённой плоскостью, где h — высота сегмента.

Обозначения:
  • R — Радиус (R)
  • h — Высота сегмента (h)

Объём шарового сектора

11 класс
V=23πR2hV = \frac{2}{3}\pi R^2 h

Объём тела, состоящего из шарового сегмента и конуса, где h — высота соответствующего сегмента.

Обозначения:
  • R — Радиус (R)
  • h — Высота сегмента (h)

Площадь боковой поверхности пирамиды

11 класс
Slat=12P⋅lS_{lat} = \frac{1}{2} P \cdot l

Боковая поверхность правильной пирамиды через периметр основания и апофему.

lP
l — апофема (высота боковой грани), P — периметр основания.
Обозначения:
  • P — Периметр основания (P)
  • l — Апофема (l)

Полная поверхность пирамиды

11 класс
Sfull=Slat+SbaseS_{full} = S_{lat} + S_{base}

Полная поверхность пирамиды — сумма боковой поверхности и площади основания.

SбокSосн
Полная поверхность — боковая поверхность плюс основание.
Обозначения:
  • Sbok — Боковая поверхность
  • Sosn — Площадь основания

Полная поверхность конуса

11 класс
S=πrl+πr2=πr(l+r)S = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r)

Полная поверхность конуса — боковая поверхность плюс площадь основания.

rl
Полная поверхность — боковая поверхность плюс основание-круг.
Обозначения:
  • r — Радиус (r)
  • l — Образующая (l)

Площадь боковой поверхности усечённого конуса

11 класс
Slat=π(R1+R2)lS_{lat} = \pi (R_1 + R_2) l

Боковая поверхность усечённого конуса через радиусы оснований и образующую.

R₁R₂l
R₁ и R₂ — радиусы двух оснований, l — образующая.
Обозначения:
  • R1 — Радиус R1
  • R2 — Радиус R2
  • l — Образующая (l)

Полная поверхность усечённого конуса

11 класс
Sfull=π(R1+R2)l+πR12+πR22S_{full} = \pi (R_1 + R_2) l + \pi R_1^2 + \pi R_2^2

Полная поверхность усечённого конуса — боковая поверхность плюс площади двух оснований.

R₁R₂l
Полная поверхность — боковая поверхность плюс два основания.
Обозначения:
  • R1 — Радиус R1
  • R2 — Радиус R2
  • l — Образующая (l)

Сумма длин рёбер правильной n-угольной пирамиды

11 класс
L=n(a+b)L = n(a + b)

Сумма длин всех рёбер правильной пирамиды: n сторон основания плюс n боковых рёбер.

ab
a — сторона основания, b — боковое ребро (n раз каждое).
Обозначения:
  • n — Количество сторон основания (n)
  • a — Сторона основания (a)
  • b — Боковое ребро (b)

Сумма длин рёбер правильной n-угольной призмы

11 класс
L=n(2a+h)L = n(2a + h)

Сумма длин всех рёбер правильной призмы: рёбра двух оснований плюс боковые рёбра.

ah
a — сторона основания, h — высота (боковое ребро) призмы.
Обозначения:
  • n — Количество сторон основания (n)
  • a — Сторона основания (a)
  • h — Высота призмы (h)

Сумма длин рёбер правильного тетраэдра

11 класс
L=6aL = 6a

Сумма длин всех 6 рёбер правильного тетраэдра.

a
Тетраэдр — 4 треугольные грани, все 6 рёбер равны a.
Обозначения:
  • a — Ребро a

Сумма длин рёбер правильного октаэдра

11 класс
L=12aL = 12a

Сумма длин всех 12 рёбер правильного октаэдра.

a
Октаэдр — 8 треугольных граней, все 12 рёбер равны a.
Обозначения:
  • a — Ребро a

Связанные темы